Calculo ejercicios


Proyecto Formativo 1: Integración Numérica (parte 1)

Cálculo Integral

Grupo: 611

Alumnos:
Edgardo Arévalo Serrano
Fernando Eduardo Villanueva Gasca
Juan Manuel Bravo de MarÍa y Campos
Fernando Alonso Orozco muñoz
Luis Eduardo de Alba Aldrete
Profesor: Carlos Aguayo










INTRODUCCION
Un método numérico es un procedimiento por el cual se obtiene de maneraaproximada la resolución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos como operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de tabla de valores, entre otros.
Cierto procedimiento consiste en una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo) que producen una aproximación al resultado delproblema.
En general, al emplear estos métodos se producen errores de redondeo.
Ejemplo:
π=3.141592653… (Irracional)
=
Entonces:

f(x)
Integración numérica
Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada ointegral indefinida de una función.
La integración numérica se utiliza para calcular una integraldefinida de una función continua mediante la aplicación del Teorema Fundamental de Cálculo.
Teorema Fundamental del Cálculo:
Siendo f(x) una función continua y definida en el intervalo [a, b] y siendo F(x) una función primitiva de f(x) entonces:

El problema en la práctica se presenta cuando nos vemos imposibilitados de encontrar la función primitiva requerida, aun para integrales aparentementesencillas como:

Método del trapecio
 
Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo usode la integración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud deseada. En este apartado vamos a estudiar dos métodos de integración numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson

Este es un método de integración numérico que se obtiene al integrar la formula de interpolación lineal.             
 



 
Él área sombreada por debajo de la recta de interpolación la llamaremos g(x) es igual a la integral calculada mediante la regla del trapecio, mientras que el área por debajo de la curva f(x) es el valor exacto.
       Él error de la ecuación es igual al área entre g(x) y f(x).
 
            Esta misma ecuación se puede extender a varios intervalos y se puede aplicar N veces al caso deN intervalos con una separación uniforme h.
            Así se propone la regla extendida del trapecio.
 
            
 
 
 


 

 
 
            Ejemplo:
El cuerpo de revolución que se muestra, se obtiene al girar la curva dada por  ,, entorno al eje x. Calcule el volumen utilizando la regla extendida del trapecio con . El valor exacto es I=11.7286, u2.
Evalué el error para cadaN.
Donde:
           


 
















METODO DE SIMPSON
El método de Simpson trata de la integración numérica que consiste encontrar una buena aproximación al área bajo la curva que representa una función f(x), que ha sido determinada a partir de una expresión matemática.
Este método a diferencia de la Regla trapezoidal, intenta no incurrir en un mayor número desubdivisiones; se trata de ajustar una curva de orden superior en lugar de una línea recta.
Este método contiene reglas para obtener una estimación más exacta de una integral y es el usar polinomios de orden superior para conectar los puntos.
A las formulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.

FORMULAS:
Sea una función f(x), si...