Calculo Funciones

FUNCIÓN DECRECIENTE
Función estrictamente decreciente

f es estrictamente decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es negativa.
Función decreciente

f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación esnegativa o igual a cero.
FUNCIÓN DECRECIENTE
Una función f (x) es decreciente en un intervalo (a, b) si satisface que |
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Si una función es decreciente en (a, b) entonces |
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En efecto, si h > 0 y nos aproximamos por la derecha de x |
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y si h > 0 y nos aproximamos por la izquierda de x |
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En cualquier caso, la derivada es no negativa. Por lo demás es un resultadointuitivamente cierto toda vez que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicho punto. Observe la gráfica de la columna derecha. |
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FUNCIÓN CRECIENTE
Función estrictamente creciente

f es estrictamente creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es positiva.
Funcióncreciente
           
f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es positiva o igual a cero.
Función creciente en un punto
Si f es derivable en a:
f es estrictamente creciente en a si:
f'(a) > 0
Intervalos de crecimiento
Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:1. Derivar la función.
2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)
4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 es decreciente.
5.Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Ejemplo
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

PUNTO CRÍTICO (MATEMÁTICAS)
Puntos estacionarios (cruces rojas) y puntos de inflexión (círculos verdes). Es importante notar que los puntos estacionarios son puntos críticos, pero los puntos de inflexión no lo son. En cálculo, un punto crítico de una función de unavariable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0.1 2 El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas diferenciables entre variedades diferenciables.
Definición para funciones de unasola variable
Un punto crítico de una función de una sola variable real, ƒ(x), es un valor x0 dentro del dominio de ƒ donde la función no es diferenciable, o bien, su derivada es 0, ƒ′(x0) = 0. Cualquier valor en el codominio de ƒ que sea la imagen de un punto crítico bajo ƒ es un valor crítico de ƒ. Estos conceptos pueden ser visualizados por medio de la gráfica de ƒ: en un punto crítico, lagráfica no admite una tangente, o bien, la tangente es una línea vertical u horizontal. En el último caso, la derivada es cero y el punto es llamado un punto estacionario de la función.
Optimización
Por el teorema de Fermat, los máximos y mínimos locales de una función pueden ocurrir únicamente en sus puntos críticos. Sin embargo, no todo punto estacionario es un máximo o mínimo de la función; puedecorresponder también a un punto de inflexión de la gráfica, como para ƒ(x) = x3 en x = 0, o la gráfica puede oscilar en la vecindad del punto, como en el caso de la función definida por la fórmula ƒ(x) = x2sen(1/x) para x ≠ 0 y ƒ(0) = 0, en el punto x = 0.
Ejemplos
* La función ƒ(x) = x2 + 2x + 3 es diferenciable en todo lugar, con la derivada ƒ′(x) = 2x + 2. Esta función tiene un único...