Calculo II De Relos

Cálculo II (Matemáticas para Ingeniería II)
Santiago Relos P.
Universidad Mayor de San Simon
26 de julio de 2006

2

Índice General
1 Vectores
1.1 Puntos en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Igualdad de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Suma y multiplicación por un escalar .. . . . . . . . .
1.2.3 Representación geométrica de los vectores . . . . . . .
1.2.4 Puntos y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Representación geométrica de la suma de vectores . .
1.2.6 Representación geométrica del producto de un número
1.2.7 Representación geométrica de la diferencia de vectores
1.3 Paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4Norma euclidiana de un vector (longitud) . . . . . . . . . . .
1.5 Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Condición necesaria y suficiente de perpendicularidad
1.6 El producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Propiedades del producto interior . . . . . . . . . . . .
1.7

Proyección Ortogonal. Componentes . . . . . . . . . . . . .
1.7.1Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 La definición de proyección ortogonal y componente
1.8 Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Cosenos directores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 La recta en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1 Paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.2Perpendicularidad (ortogonalidad) . . . . . . . . . .
1.10.3 Distancia de un punto exterior a una recta . . . . .
1.10.4 Intersección de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.5 Ecuación paramétrica de la recta . . . . . . . . . . .
1.11 El producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.1 El triple producto escalar . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 La ecuación del plano .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12.1 La definición del plano . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12.2 La ecuación vectorial del plano . . . . . . . . . . . .
1.12.3 Intersección de planos . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12.4 Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . .
1.12.5 Angulo entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12.6 Proyección de una recta sobre unplano . . . . . . .
3

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
por un
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
vector
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

7
7
9
10
11
11
12
13
14
14
15
16
18
19
20
20

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

21
22
23
25
25
26
26
27
27
28
29
30
33
35
35
36
37
38
39
49

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

4

ÍNDICE GENERAL

2 Superficies
53
2.1 Superficies cilíndricas . ....