Calculo Integral- Integrales Impropias-

CÁLCULO INTEGRAL INTEGRALES IMPROPIAS
2011
Diego Armando Ayala Baás
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CANCÚN
13/09/2011

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CANCÚN


CÁLCULO INTEGRAL


AYALA BAÁS DIEGO ARMANDO


UNIDAD 1. Teorema fundamental del cálculo.
sumas de riemannSUMAS DE RIEMANN - INVESTIGACIÓN


ING. DOMINGO RAMOS

Introducción
Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades. Las integrales impropias noson realmente una nueva forma de integrales, sino una extensión natural a las propiedades de la integral y un replanteamiento de nuestro concepto de área bajo la curva.
abfxdx Es una integral impropia:
* Cuando a=- ∞ o b=∞, a=- ∞ y b=∞
* fx no es acotada en uno de los puntos de a,b dichos puntos se llaman singularidades de fx.

Índice
Definición de integrales impropias convergentes,divergentes, oscilantes………..5
Propiedades de las integrales impropias ………………………………………………………….7
Comentarios……………………………………………………………………………………………………10
Bibliografía……………………………………………………………………………………………………11

Definición de integrales impropias convergentes, divergentes, oscilantes.
Sea A ⊆ R. Se dice que una función f : A → R es localmente integrable en A si es integrable en cada intervalo cerrado yacotado contenido en A.
Obsérvese que si -∞ < a < b ≤ +∞, una función f es localmente integrable en [a, b) si y solo si es integrable en cada intervalo [a,x] ⊆ [a, b). Análogamente, si -∞ ≤ a < b < +∞, una función f es localmente integrable en (a, b] si y solo si es integrable en cada intervalo [x, b] ⊆ (a, b]. Consideremos en primer lugar funciones definidas en intervalos del tipo [a, b),donde b es finito o+∞.
Dada una función f : [a, b) → R localmente integrable, -∞ < a < b ≤ +∞, si existe el límite
Limxb-axftdt
Y es finito, decimos que la integral impropia abf de f en el intervalo [a, b); se denota por abf. Si el límite existe, pero es +∞ o -∞ decimos que la integral impropia diverge a +∞ o -∞, y si no existe el límite decimos que la integral impropia no existe, o que notiene sentido, o que es oscilante.
Si la integral impropia de una función en un intervalo es convergente se dice que la función es integrable en sentido impropio en dicho intervalo.
De manera análoga puede definirse la integral impropia de una función en un intervalo (a, b], -∞ ≤ a < b < +∞
Dada una función f : (a, b] → R localmente integrable, -∞ ≤ a < b < +∞, decimos que laintegral impropia abf es convergente si existe el límite
limxa+xbftdt
Y es finito, y al valor de dicho límite lo llamamos integral impropia de f en el intervalo (a, b]; se denota por cbf Si el límite existe, pero es +∞ o -∞, decimos que la integral impropia diverge a +∞ o -∞, y si no existe el límite decimos que la integral impropia no existe, o no tiene sentido, o que es oscilante.
La definiciónde integral impropia de funciones localmente integrables en intervalos abiertos puede hacerse mediante límites en dos variables o reduciéndola a las definiciones anteriores del siguiente modo:
Dada una función f : (a, b) → R localmente integrable, -∞ ≤ a < b ≤ +∞, decimos que la integral impropia abf es convergente si existe un c ∈ (a, b) tal que acf y cbf son ambas convergentes. Se defineabf=acf+cbf
Se deduce que en esta definición es indiferente el punto c que se elija. También se deduce que la convergencia de una integral impropia es un concepto local, que depende solo del comportamiento del integrando cerca del punto impropio, en un entorno del extremo conflictivo.
Sea f : [a, b) → R una función localmente integrable y sea a < c < b. La función f es integrable en...