Calculo integral
6.1.
Y
C´lculo de ´reas de figuras planas. a a
Hemos visto en el tema anterior que, si f es no negativa en el intervalo
b
y = f(x)
[a, b],
a
f (x)dx representa el ´rea baa
X O a b
b
jo la curva de ecuaci´n y = f (x) entre o x = a y x = b (´rea del conjunto que a aparece rayado en la figura. f (x)dx es igual al ´rea del recinto A a
aAhora bien, si f ≤ 0, entonces
189
de la siguiente figura con signo menos.
Y
b
En efecto, sabemos que
y = - f(x)
f (x)dx =
a
b
B
X O a
−
b a a
b
−f (x)dx. Como −f
≥
0,
A
y = f(x)
−f (x)dx representa el ´rea del a recinto B, que es exactamente el ´rea a del recinto A.
Ejemplo 6.1.1. Calcular el a´ea del recinto limitado por la curva y = x2 −1, rel eje OX, x = 0 y x = 2. Primero resolvemos la ecuaci´n x2 − 1 = 0, para obtener los valores de x o donde la funci´n y(x) cambia de signo. El ´rea pedida es la suma de las ´reas o a a
1
de los recintos A y B. Ar(A) = − Por tanto, el ´rea buscada es a
1 0
(x2 − 1)dx y Ar(B) =
1
2
(x2 − 1)dx.
−
0
(x2 − 1)dx +
1
2
(x2 − 1)dx = x −
x3 3
1 0
+
x3 −x 3
2 1=
1 8 1 6 = (1 − ) + − 2 − ( − 1) = = 2. 3 3 3 3 Consideremos ahora un recinto del tipo A = {(x, y) : f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x), a ≤ x ≤ b}. Observando la figura, notamos que el ´rea de A es la difera encia
b b
Y y = f 2 (x)
f2 (x)dx −
y = f1 (x)
a a
f1 (x)dx.
O
a
b
X
Por la linealidad de la integral definida, el ´rea buscada viene dada por a 190
b
Ar(A) =
a
f2 (x)− f1 (x) dx.
Con estas ideas puede determinarse el ´rea de cualquier recinto plano A, a salvo que no podamos resolver las integrales correspondientes. Bastar´ dividir a A adecuadamente en un n´mero finito de trozos A1 , .., An , de modo que la u intersecci´n de dos culesquiera, Ai ∩ Aj , tenga ´rea nula. El ´rea de A es la o a a suma de las ´reas de cada trozo. a
Ejemplo 6.1.2. Calcular el´rea del recinto A limitado en el primer cuada 2 2 rante por las curvas x + y = 2 e y = x2 . Empezamos calculando los puntos de corte de ambas curvas. Para ello, resolvemos el sistema x2 + y 2 =
y=x
2
2
x +y =2
2
y
2
= x2
1
2
Sustituyendo y = x2 en la primera ecuaci´n, obtenemos x2 + x4 = 2. o Haciendo el cambio x2 = t, resulta t2 + t − 2 = 0. Las soluciones son t = −2 y t= 1.
Como x2 no puede ser negativo, s´lo sirve t = 1, por lo que x = 1. Para o calcular el ´rea pedida, dividimos el recinto en dos trozos A1 y A2 , como se a indica en la figura. Entonces
1
Ar(A) =
0 1
x2 dx +
1
√ 2
√
2 − x2 dx.
Ar(A1 ) =
1 x3 1 = . Para el c´lculo de la segunda integral, a 0 3 3 0 √ √ hacemos el cambio de variable x = x(t) = 2 sen t. Entonces x (t) = 2cos t x2 dx = 191
y tenemos
b
Ar(A2 ) =
a
√
2 − 2 sen2 t
√
b
2 cos t dt =
a
2 cos2 t dt,
siendo a y b tales que x(a) = 0 y x(b) = luego
b
√
2. Encontramos a = 0 y b = π , 2 sen 2t 2 π . 2
Ar(A2 ) =
a
2 cos t dt =
0 1 3
2
π 2
(1 + cos 2t) dt = t +
π 2
0
=
Finalmente, Ar(A) =
+ π. 2
6.2.
C´lculo de vol´ menes. a u
Enesta secci´n vamos a aprender a calcular el volumen de una figura o tridimensional que tenga la siguiente propiedad: existe alg´n eje en el espacio u de modo que al cortar la figura con planos perpendiculares a dicho eje se producen secciones cuyas ´reas sabemos calcular. a
a O
b X
x k-1
x
k
Tomamos el citado eje como eje OX y denotamos por A(x) el ´rea de la a secci´n producida alcortar la figura con un plano perpendicular al eje OX y o 192
que corta a ´ste en el punto de abcisa x, donde a ≤ x ≤ b. Vamos a mostrar e que el volumen de una figura de estas caracter´ ısticas viene dado por
b
V =
a
A(x) dx.
(6.1)
Para facilitar la comprensi´n, vamos a referirnos a la figura siguiente. Escoo gemos una partici´n arbitraria P = {xk }n del intervalo [a, b] e...
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