Calculo integral -

Unidad 1
‘’Teorema fundamental del calculo’’
1.1 MEDICION APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS
Las figuras amorfas son aquellas que no tiene forma por que en realidad TODO tiene forma, pero es que no posee una forma conocida, no es un cuadrado ni un triangulo ni nada por el estilo es una curva de muchos lados distintos y deforme su principal finalidad es calcular una grafica dada a su áreaen la parte dentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa. La notación sumatoria es encontrar el valor de la ecuación dada respecto a un punto determinado cuando ‘n’ tiende a cualquier numero dado. Existen dos tipos de sumatorias: la sumatoria abierta y la sumatoria pertinente. La suma de Reiman es igual a las figuras amorfas solo que en estas se emplean unas series deformulas para una aproximación del area total bajo la grafica de una curva. La integral definida se utiliza para determinar el valor de las areas limitadas por curvas y rectas, tambien son llamadas asi por que dada una ecuación su integral es definida por que esta tiende de un punto a otro y se podría decir que se conoce el valor al que se quiere graficar esa función.

Mediciones aproximadasde figura amorfas

Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa es que al querer sacar su area se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.
Para un poligono irregular (figuras con curvas) trazas diagonales y resuelves por triangulos.

Rectángulo Genérico

Definiremos, para nuestra presentación, un rectángulo genérico. El mismo se formaráteniendo como base el eje de coordenadas, (bien sea eje X o el eje Y ), dependiendo de la curva que estemos estudiando. En ocasiones el rectángulo genérico puede ser vertical, si tiene como base el eje X . (Ver Figura 1). Pero es posible que el rectángulo sea horizontal, para este caso la base está sobre el eje Y.

Ahora bien, la longitud de los rectángulos vendrá determinada por la curva. Es decir;donde toque el rectángulo a la curva, esa será la longitud El ancho del rectángulo vendrá dado por la exactitud del cálculo que deseamos hacer .Para estudios siguientes, haremos que el ancho del rectángulo se haga tan pequeño como el límite cuando tiende a cero.

1.2 NOTACION SUMATORIA
Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticosmás complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.
Dada una sucesión: 

Ésta se puede representar como la suma de los  primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega  (sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera: 

Laecuación anterior se lee la "suma de  desde  hasta ." La tetra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros , y se suman las expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación.

Ejemplos

Ejemplo # 1
Calcule la siguiente Serie:

Solución:

Ejemplo # 2

Solución:

1.3 SUMAS DERIEMANN
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida es decir el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito derectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
Definición
Consideremos lo siguiente:
una función 
donde D es un subconjunto de los números reales 
* I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
* Un...