Calculo integral

(Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje)

CÁLCULO INTEGRAL LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA
Sumatoria Para representar en forma abreviada determinado tipo de sumas, se utiliza como símbolo a la letra griega sigma ( ∑ ). Ejemplos.
1+ 2 + 3 + 4 + + 30 = ∑ i
i =1 30

;

12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 +

+ 30 2 = ∑ i 2
i =1

30

A " i " se le conoce como índice de lasumatoria. A esta suma también se le identifica como

∑ f ( i ) = f (1) + f ( 2 ) + f ( 3 ) +
i =1

n

f (n )

Propiedades de la sumatoria
i) ii )

∑ α f (i ) = α ∑ f (i ) ∑ ⎡f ( i ) ± g ( i )⎤ = ∑ f ( i ) ± ∑ g ( i ) ⎣ ⎦
i =1 i =1 i =1 i =1 n i =1 n n

n

n

iii )

∑ f (i ) = ∑ f (i ) + ∑ f (i )
i =1 i =1 i = j +1

n

j

n

: 1< j < n

Es conveniente presentar lassiguientes propiedades de la sumatoria:

∑ 1 = 1+ 1+ 1+
i =1

n

+1= n

∑ i = 1+ 2 + 3 +
i =1

n

+n=

∑i
i =1

n

2

= 12 + 2 2 + 3 2 +

n ( n + 1) 2 n ( n + 1)( 2n + 1) + n2 = 6

Área bajo la curva

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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y

y = f (x )

A a
x

b

Se fijarán dos condiciones: i ) Que f ( x ) sea continua en el intervalo [a, b ] i ) Que f ( x ) sea positivaen el intervalo [a, b ] Suma inferior Se hace una partición del intervalo considerado en iguales cuyos extremos se denotan como:
a = x 0 , x1 , x 2 , … , x n = b

"n"

subintervalos

tales que

a = x 0 < x1 < x 2 < ∆x = x1 − x 0 = x 2 − x1 =

< xn = b = x n − x n −1

La longitud de cada subintervalo está dada por:
= x i − x i −1 =

de donde
∆x =

b−a n

y como la función escontinua en todo el intervalo, entonces es continua en los subintervalos, por lo que de acuerdo con el Teorema de Weierstrass, hay un valor del subintervalo para el cual la función toma su mínimo valor. Estos valores son c1 ,c2 ,c3 ,…,cn . Luego f ( c i ) es el menor valor de la función en cada subintervalo figura:

[ x i −1, x i ] . Considérese la siguiente

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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y

y= f (x )

c1 c 2 a = x0 x1 x2

ci x i −1 x i

x x n −1 x n = b

cn

Se construyen " n " rectángulos cuyas áreas son:
f ( c 1 )( x 1 − x 0 ) = f ( c 1 ) ∆ x f ( c 2 )( x 2 − x 1 ) = f ( c 2 ) ∆ x f ( c i )( x i − x i − 1 ) = f ( c i ) ∆ x f ( c n )( x n − x n − 1 ) = f ( c n ) ∆ x

de donde

SI = f ( c1 ) ∆ x + f ( c 2 ) ∆ x +

+ f ( c i ) ∆x +

+ f ( c n ) ∆x

SI ≤ AEjemplo. Calcular con la suma inferior el valor aproximado del área bajo la curva de la función
x + 10 3 de x = 2 a x = 8 , para: i ) n = 3 y ii ) n = 6 f (x ) =

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Definición.
x =a y x =b

El área bajo la curva

y = f (x )

y limitada por las rectas

es el límite, cuando el número de subintervalos de la partición tiende a infinito, de la suma inferior. Esto es,n →∞

lim SI = A

Suma superior Se considera la misma área y la partición que para la suma inferior y por el Teorema de Wierstrass se garantiza que hay una " x " en cada subintervalo donde la función toma su máximo valor. Estos valores son d1, d 2, …, d n . Luego, f ( d i ) es el a mayor valor en cada subintervalo [ x i −1 , x i ] .

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y

y = f (x )

d1
a =x0

x1

d2 x2

di x i −1 x i

x x n −1 x n = b

dn

Se construyen " n " rectángulos cuyas áreas son:
f ( d 1 )( x 1 − x 0 ) = f ( d 1 ) ∆ x f ( d 2 )( x 2 − x 1 ) = f ( d 2 ) ∆ x f ( d i )( x i − x i − 1 ) = f ( d i ) ∆ x f ( d n )( x n − x n − 1 ) = f ( d n ) ∆ x

Aquí también se observa que la suma de estas áreas es una aproximación del área bajo la curva y mientras mayor sea lapartición, más cerca estará del valor exacto del área. Entonces esta suma superior está dada por:
Ss = f ( d1 ) ∆x + f ( d 2 ) ∆x + + f ( d i ) ∆x + + f ( d n ) ∆x

Ss ≥ A

Ejemplo. Calcular con la suma superior el valor aproximado del área bajo la curva de la función
x + 10 3 de x = 2 a x = 8 , para: i ) n = 3 y ii ) n = 6 f (x ) =

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Definición. El área bajo...