Calculo Numerico

Aproximaciones
Si tenemos un número decimal con infinitas cifras decimales (caso de un decimal periódico puro o periódico mixto o de un número irracional) no es factible trabajar con todas ellas, de ahí que utilicemos aproximaciones para tales números.
Por ejemplo el número π = 3,141592..., tan utilizado en cálculo de longitudes de circunferencias y áreas de círculos, es un número irracionalcon infinitas cifras no periódicas, hemos de utilizar aproximaciones a su valor real.
3,1   3,14   3,141   3,1416
Cada uno de los números anteriores responde a una aproximación del número π (Pi).

Métodos de aproximación
Los métodos de aproximación que vamos a utilizar son:
Truncamiento. Se eliminan, sin más, las cifras a partir de un orden considerado.
Redondeo. Se eliminan las cifras a partir deun orden considerado, pero teniendo en cuenta que si la primera cifra eliminada es 5 o más de 5 a la última cifra decimal que se deja se le añade uno.

Ejemplos:

a) Aproxima por truncamiento y por redondeo el número 2,345378 a las milésimas. Se observa que tanto por truncamiento como por redondeo tal aproximación es 2,345 (como la primera cifra eliminada es un tres, no hace falta añadir nada en elredondeo).
b) Aproxima por truncamiento y por redondeo el número 54,7865 a las centésimas. En este caso la aproximación por truncamiento es 54,78; mientras que la aproximación por redondeo es 54,79 (la primera cifra que se elimina es un 6 de ahí que haya que añadir una unidad más).
Una aproximación es por defecto si la aproximación es menor que el número inicial, y por exceso, si es mayor.

Eltruncamiento es siempre una aproximación por defecto, sin embargo el redondeo es por defecto si la primera cifra que se suprime es menor que 5, y por exceso, si es mayor o igual que 5.




Errores en la aproximación

Cuando se trabaja con números aproximados se comete un error que se debe de tener en cuenta cuando se evalúan los resultados que se obtienen.
Se denomina error absoluto (Ea) a ladiferencia entre el valor exacto y la aproximación.

Se toma siempre el número positivo o valor absoluto de la diferencia entre ambos.

Ea = |Vexacto - Vaproximación|

Ejemplo:
Una montaña mide 2475 m. Redondea la altura a las centenas y halla el error absoluto cometido:

a) Redondeando a las centenas, la montaña mide 2500 m.

b) Error absoluto = |2475 - 2500| = |-25| = 25 m

El error relativo (Er) esel cociente del error absoluto y el valor exacto:



Ejemplo:
Una montaña mide 2475 m. Trunca la altura a las centenas y halla el error relativo cometido:

a) Truncando a las centenas, la montaña mide 2400 m.

b) Error absoluto = |2475 - 2400| = |75| = 75

c) Error relativo= 75/2475 = 0.0303...=3.03%


Redondeo por Defecto

Cuando las cantidades se redondean por defecto, la cifra por redondearpierde una unidad conservando el valor original a redondear. Por ejemplo: redondeado por defecto y al entero 125.365412 resulta 125. La misma cantidad al centésimo queda 125.36.
Redondear por Defecto:

Sin Redondeo Al Entero Al Décimo Al Centésimo
325.825621 325 325.8 325.83
14.543018 14 14.5 14.54
985.695405 985985.6 985.69


Redondeo por Exceso

Cuando se redondea por exceso, la cifra a redondear aumenta una unidad a la cantidad o cifra que deseamos redondear. Por ejemplo: 325.825621; si redondeamos al entero la cifra se convierte en 326.


Redondear por Exceso

Sin redondeo Al Entero Al Décimo Al Centésimo
325.825621 326 326.9 325.83
14.543018 1514.6 14.55
985.695405 986 985.7 985.70


Cálculo de errores

Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos:

Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado...