Calculo Numérica
Páginas: 3 (660 palabras)
Publicado: 10 de mayo de 2012
Ecuaciones Lineales
Fold
Table of Contents
Introducción
Bisección
Observaciones
Punto Fijo
Método de Newton
Método de la secante
Método de la cuerda
Método Regula Falsi
Método deSteffensen
Velocidad de convergencia
Links Interesantes
Introducción
Es muy común para la resolución de problemas el tener que encontrar las raíces de una ecuación. A continuación se presentan variosmétodos de cómo obtenerlas.
Bisección
Para el intervalo [a,b], calcular:
(1)
c=a+b2
Si f(a) y f(c) tienen distinto signo, el próximo intervalo es [a,c], en caso contrario el nuevo intervaloes [b,c]. Hay dos posibles condiciones de corte, la primera es que el valor c encontrado sea una raíz (f(c)≤δ) y la segunda es que el intervalo en el que buscamos sea tan chico como deseemos (b−a≤ϵ).En este último caso la raíz es a+b2
La cota de error en la iteración n-ésima es
(2)
en≤2−(n+1)(b−a)
Observaciones
Se gana un dígito binario de precisión por cada iteración, o sea un dígitodecimal cada 10/3 iteraciones
Punto Fijo
Dada la función f(x), hay que despejar x en función de x, es decir
(3)
x=ϕ(x)
Para que se pueda hacer punto fijo tiene que cumplirse lo siguiente:Tiene que existir un intervalo [a,b] sobre la abscisa tal que f(x) caiga en el intervalo [a,b] pero sobre la ordenada.
En todo punto de ese intervalo, la derivada de la función despejada tiene quetener módulo menor a 1.
Entonces se elige un punto inicial cualquiera y la sucesión
(4)
pn+1=ϕ(pn)
converge al único punto fijo de ese intervalo, o sea a la raíz buscada.
La cota de error enla iteración n-ésima es
(5)
en≤kn1−k|p1−p0|
donde k es la cota de la derivada en el intervalo (o sea algo menor a 1).
Según sea la convergencia de la derivada, si una ecuación tiene más de unaraíz capaz que no se pueden calcular todas por punto fijo porque en un entorno de alguna la derivada puede ser siempre mayor a 1, entonces no se puede usar punto fijo.
Método de Newton
Para...
Fold
Table of Contents
Introducción
Bisección
Observaciones
Punto Fijo
Método de Newton
Método de la secante
Método de la cuerda
Método Regula Falsi
Método deSteffensen
Velocidad de convergencia
Links Interesantes
Introducción
Es muy común para la resolución de problemas el tener que encontrar las raíces de una ecuación. A continuación se presentan variosmétodos de cómo obtenerlas.
Bisección
Para el intervalo [a,b], calcular:
(1)
c=a+b2
Si f(a) y f(c) tienen distinto signo, el próximo intervalo es [a,c], en caso contrario el nuevo intervaloes [b,c]. Hay dos posibles condiciones de corte, la primera es que el valor c encontrado sea una raíz (f(c)≤δ) y la segunda es que el intervalo en el que buscamos sea tan chico como deseemos (b−a≤ϵ).En este último caso la raíz es a+b2
La cota de error en la iteración n-ésima es
(2)
en≤2−(n+1)(b−a)
Observaciones
Se gana un dígito binario de precisión por cada iteración, o sea un dígitodecimal cada 10/3 iteraciones
Punto Fijo
Dada la función f(x), hay que despejar x en función de x, es decir
(3)
x=ϕ(x)
Para que se pueda hacer punto fijo tiene que cumplirse lo siguiente:Tiene que existir un intervalo [a,b] sobre la abscisa tal que f(x) caiga en el intervalo [a,b] pero sobre la ordenada.
En todo punto de ese intervalo, la derivada de la función despejada tiene quetener módulo menor a 1.
Entonces se elige un punto inicial cualquiera y la sucesión
(4)
pn+1=ϕ(pn)
converge al único punto fijo de ese intervalo, o sea a la raíz buscada.
La cota de error enla iteración n-ésima es
(5)
en≤kn1−k|p1−p0|
donde k es la cota de la derivada en el intervalo (o sea algo menor a 1).
Según sea la convergencia de la derivada, si una ecuación tiene más de unaraíz capaz que no se pueden calcular todas por punto fijo porque en un entorno de alguna la derivada puede ser siempre mayor a 1, entonces no se puede usar punto fijo.
Método de Newton
Para...
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