calculo unidad 4

4.1 DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.
La explicación y uso del mundo natural y social han planteado, sin embargo, la necesidad de considerar funciones de más de una variable. Por ejemplo, considere el volumen de un cilindro circular recto: V=r2h 
El volumen depende de r y de h. Por eso se puede escribir
V(r,h)=r2h 
Es decir, como una función de dos variables r y h.
V:(r,h)r2hPor ejemplo: V(1,2)=12.2=2
Los ejemplos son muchísimos:
V(x,y,z)=x 
2+y2+z2
Es una función de tres variables: x, y, z. En general, se puede hablar de funciones de varias variables. Funciones de dos variables
En el caso de las funciones de 2 variables es posible obtener una representación gráfica, al igual que se hace con las funciones de una variable. Sin embargo, la representación se haceen el espacio (en 3 dimensiones) y no en el plano. En lugar de dos ejes de coordenadas x, y: se tienen 3 ejes de coordenadas x, y y z: Por ejemplo, si z=f(x)=

Se obtiene la mitad de la superficie de la esfera de radio r = 3, y con centro en el punto origen (0, 0,0) (figura 9.14). o Nota :La ecuación z2=9-x2-y2, o bien: z2+x2+y2=32
Brinda la superficie de la esfera completa. Otro ejemplo: seaf(x,y) = 

Esto representa un plano paralelo al plano xy (constituido por todos los puntos (x,y,1)).Es interesante señalar que a las funciones de varias variables se les puede aplicar también los métodos del Cálculo Diferencial e Integral, con algunas modificaciones. 







4.2 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES


Solución
Para hallar el dominio de recuerde que el argumento deuna raíz cuadrada debe ser positivo o cero : Lo cual corresponde al interior de un círculo de radio 3, como se muestra en la figura 1.Figura 1: dominio de
f(x,y)
Para hallar el dominio de recuerde que en un cociente el denominador no puede ser cero, por lo que el argumento del radical debe ser positivo :Lo cual corresponde al exterior de la parábola , sin incluir la parábola misma, esto semuestra en la figura 2.
Figura1: dominio deg(x,y)
Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que lo hacemos con las funciones de una variable Suma y resta: Producto: Cociente: La función compuesta dada por se define solamente si es una función de dos variables y una función de una única variable. En este caso para todo par en el dominio de. Por ejemplo, la función puedeverse como la composición de la función de dos variables y la función de una variable
Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma (donde es un número real, son enteros positivos) se conoce como función poli nómica de dos variables. Por ejemplo, la funciones una función poli nómica. Y una función racional es el cociente de dos funciones poli nómicas.


4.3 CURVAS YSUPERFICIES DE NIVEL

El conjunto de parejas ordenadas x,y se llama dominio de la función y el conjunto de valores correspondiente a z se llama contra dominio, rango, ámbito. Una función de dos variables se escribe z = “f(x,y) de x, y”.

Las variables x, y se denominan variables independientes y z la variable dependiente.
La gráfica de una función Z es una superficie del espacio tridimensional. Elpotencial electrostático en un punto P(x,y) del plano debido a una carga puntual unitaria, colocada en el origen está dada por:

Donde C es una constante positiva, las líneas o curvas equipotenciales son círculos alrededor de la carga y se les denomina curvas del nivel 

Las curvas de nivel se usan en la elaboración de mapas orográficos o planos de configuración.
En los mapas meteorológicos oclimáticos, las curvas de nivel se llaman isotérmicos (cuando la temperatura es constante: isotérmico), en un mapa meteorológico que represente la presión atmosférica se les llama isobalos (presión barométrica constante).









4.4 DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Interpretación geométrica de la derivada parcial




4.5...