unidad 4 calculo vectorial

4.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

INDICE 4
4.1.
Definición de una función de dos variables…………………………….……………..2
4.2.
Gráfica de una función de dos variables……………………………….……………….2
4.3.
Curvas y superficies de nivel…………………………………………………..……………..3
4.4.
Límites y continuidad……………………………………………………………………..……..6
4.5.
Definición de derivadas parciales de funciones de dos variables, así como suinterpretación
geométrica…………………………………………………………………………………………………………8
4.6.
Derivadas parciales de orden superior……………………………………………..……9
4.7.
Incrementos, diferenciales y regla de la cadena…………………………………...9
4.8.
Derivación parcial implícita……………………………………………………..…………….12
4.9.
Coordenadas cilíndricas y esféricas………………………………………..……………..14
4.10. Derivada direccional, gradiente, divergencia yrotacional……………………..15
4.11. Aplicaciones geométricas y físicas de los operadores vectoriales………....17

1

4.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
4.1.
Definición de una función de dos variables
La primera parte de esta asignatura se ha centrado en el estudio de las
funciones de una variable,
𝑓: ℝ → ℝ
Lo que sigue ahora, es el estudio de las funciones de dos variables.
𝑓: ℝ2 → ℝ
Estasfunciones se representan a menudo mediante el símbolo z = f(x,y).
Una función de dos variables tiene como dominio parejas de números (así
que se le asignará un número nuevo a cada una de estas parejas). En
general, el dominio de una función con n variables (n ≥ 1) está formado por
puntos con n coordenadas, y la función asocia a cada punto un número real
determinado.
Una función con n variables esuna regla f que asocia a cada punto (x1, x2,
. . . , xn) dentro de un determinado conjunto D un número real f(x1, x2, . . . ,
xn). El dominio D es un subconjunto de Rn, es decir, está formado por
puntos con n coordenadas. Representaremos esta función escribiendo:

Cuando queramos indicar la acción de la función sobre un punto, entonces
escribiremos:

4.2.

Gráfica de una función de dosvariables
La grafica de una función de dos variables es el conjunto de puntos (x,y,z)
tales que 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑥 ∈ 𝐷. Es decir,
𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 =

𝑥, 𝑦, 𝑓 𝑥, 𝑦 |(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷

La grafica de una función de dos variables z = f(x, y) puede interpretarse
geométricamente como una superficie S en el espacio de tal forma que su
proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. En consecuencia, a
cada punto(x,y) en D le corresponde un punto (x,y,z) en la superficie y, a la
inversa, a cada punto (x,y,z) en la superficie le corresponde un punto (x,y)
en D.

2

4.3.

Curvas y superficies de nivel
MAPAS DE ALTURAS Y CURVAS DE NIVEL
La grafica de una función h de una sola variable es la representación de un
conjunto de puntos de la forma (x, y) tales que y = h(x). Cuando tenemos
una función fde dos variables, la grafica tiene que representar conjuntos de
puntos de la forma (x, y, z) tales que z = f(x, y). Por este motivo, para
representar la grafica de una función de dos variables necesitamos tres
dimensiones. En el caso de la grafica tridimensional, partimos de tres ejes
perpendiculares entre sí: en los dos ejes horizontales representamos las
variables x e y, y en el ejevertical representamos los valores z que toma la
función.

Hemos denominado los ejes con las letras X, Y y Z, respectivamente. A
cada valor de las variables x e y le corresponde un punto (x, y) del plano
que se encuentra en la base. Por ´ ultimo, la función f asocia un valor z =
f(x, y) al punto (x, y).
Con la grafica nos podemos imaginar el grafo de una función de dos
variables como una sábanapor encima (o por debajo, si la función toma
valores negativos) del plano donde están los puntos (x, y). También
podemos establecer un símil con una montaña, de forma que para describir
el comportamiento de la función nos interesará saber si la pendiente es
muy fuerte o no en una determinada dirección, junto con donde se
encuentran las cumbres y los valles. Una última manera, que nos...