Calculo Vectoria

MATEMÁTICAS VECTORIALES
UDEC



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ÍNDICE
Índice

1. Cálculo Diferencial

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1.1. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.1.1. Propiedades de los límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1. Reglas básicas de derivación . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3. La regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Cálculo Integral

12

2.1. Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1.1. Integrales denidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143. Vectores y Geometría del espacio

15

3.1. Vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.1.1. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.1.2. Vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.1.3. El producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.1.4.Ángulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.1.5. Cosenos directores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.1.6. Proyecciones y componentes vectoriales . . . . . . . . . . . . .

19

3.1.7. El producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ÍNDICE

4. Funciones vectoriales

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4.1. Funciones vectoriales . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

4.2. Derivación e integración de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . .

22

4.2.1. Derivación de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . .

22

4.2.2. Integración de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.3. Vectores tangentes y vectores normales . . . . . . . . . . . . . . . . .

244.3.1. Vectores tangentes y vectores normales . . . . . . . . . . . . .

24

5. Funciones de varias variables

24

5.1. Límite de una función de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

5.2. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

5.2.1. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . .

26

5.3. Derivadasdireccionales y gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

5.3.1. Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

5.3.2. Gradiente de una función de dos variables . . . . . . . . . . .

27

6. Integración múltiple
6.1. Integrales iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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28

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CÁLCULO DIFERENCIAL

1.Cálculo Diferencial

1.1.

Límites

Denición de Límite. Sea f una función denida en un intervalo abierto que

contiene a c (salvo posiblemente en c) y L un número real. La armación
l´ f (x) = L
ım

x→ c

signica que para todo ε > 0 existe uno δ > 0 tal que si 0 < |x − c| < δ , entonces
|f (x)| < ε

Algunas funciones carecen de límite cuando x → c, pero aquellas que lo poseen
nopueden tener dos límites diferentes cuando x → c. Es decir, si el límite de una
función existe, entonces es único.

Ejemplo Determinar δ para un ε dado. Dado el límite
l´ (2x − 5) = 1
ım

x→ 3

encontrar δ tal que |(2x − 5) − 1| < 0,01 siempre que 0 < |x − 3| < δ Solución En
este problema se está trabajando con un valor dado de ε: ε = 0,001. Para encontrar
un δ apropiado, se observa que|(2x − 5) − 1| = |2x − 6| = 2|x − 3|

Como la desigualdad es equivalente a 2|x−3| < 0,01, se puede escoger δ = 1/2(0,001) =
0,005. Esta opción funciona porque
0 < |x − 3| < 0,005

lo que implica que
|(2x − 5) − 1| = 2|x − 3| < 2(0,005) = 0,01

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CÁLCULO DIFERENCIAL

1.1.1. Propiedades de los límites
El límite de f (x) cuando x se aproxima a c no depende del valor de f en x...