Calculo vectorial unidad 1


1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica
Un objeto en las matemáticas que posea magnitud así como dirección es la definición perfecta de un vector. Los elementos pertenecientes a Rn representan el vector. Diferentes valores de n representan diferentes vectores con diferente comportamiento. Por ejemplo, cuando n = 1, esto es, R1 = R representa una escala o un puntoen el vector. R2 representa un vector de la forma (x1, x2), R3 representa un vector de la forma (x1, x2, x3).
Existen dos propiedades importantes de los vectores R2:
1). Suma de los vectores R2: Si p y q son dos vectores de la forma R2 entonces p + q = (p1, p2) + (Q1, Q2) = (p1 + q1, p2 + q2).
2). Producto Escalar: Considere B ? R y un vector P en R2, en este caso el producto escalar es de laforma
B (p1, p2) = (B p1, B p2).
Vamos a considerar la interpretación geométrica de la Sumatoria de los vectores R2:








De la figura se puede concluir que si p = (p1, p2) y q = (q1, q2), entonces mediante la reasignación de la representación de p y q, la suma resulta ser (p1, p2) + (q1, q2) = (p1 + q1, p2 + q2). Esta regla se conoce como:“Suma del Paralelogramo”.
Estos vectores R2también pueden ser divididos en dos componentes los cuales son perpendiculares entre sí. Estos componentes son generados con respecto al sistema de coordenadas el cual pueden ser de múltiples dimensiones.

1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales


A pesar de ser utilizadas constantemente en el campo de la física, las cantidades escalares y vectoriales ocupan un lugar importanteen las Matemáticas.
En física, un campo escalar se utiliza para definir la energía potencial de una fuerza particular.También se utiliza para definir el campo gravitatorio en el tema de lateoría escalar de gravitación.En Matemáticas, el campo escalar también es conocido como “función del espacio”.
Un campo escalar es el responsable de asociar todas las posiciones dentro de un espacio determinadocon un número real.
Por ejemplo: Considere una sala de tres dimensiones en la cual hay un calentador y un aireacondicionado encendidos en distintos rincones.
En un momento, en alguna parte del centro de la sala se puede encontrar una temperatura variante.
Por tanto, cuando la posición cambia, la temperatura también cambia.
Es decir, la temperatura T puede ser considerada como una función dex, y, z, es decir, T(x, y, z).
Aquí T es el campo escalar. El valor del campo escalar es invariante independientemente de la rotación del sistema de coordenadas.
Ahora, considere nuevamente la saladonde el aire fluye rápidamente en alguna parte y se mueve lentamente en otra parte.
Este movimiento de aire se denomina velocidad.
Por consiguiente, esta velocidad es también una función que puedeser escrita como v(x, y, z).
Esta velocidad es diferente de la de la temperatura por el hecho de que la dirección está asociada con la velocidad y no con la temperatura.
Entonces, la descripción del aire está dividida en dos partes: la rapidez y su dirección, por este motivoes considerado un campo vectorial.
Las aplicaciones del campo vectorial incluyen la Transformada de Fourier, laOptimización, la teoría de juegos, el teoremaminimax, junto con algunas teorías importantes, como la teoría de grupos y la teoría de la representación.

1.3 La geometría de las operaciones vectoriales

Un vector está caracterizo completamente por su magnitud y su dirección. Por ejemplo: 20 km al sur. Aquí 20 kilómetros es la magnitud y se acompaña de la dirección, es decir, hacia el sur.
También puedeestar muy bien representado por un segmento de recta dirigido. Es por esta razón que un segmento de recta dirigidotambiénpuede ser llamado vector.
Existe una gran cantidad de operacionesque pueden ser aplicadas sobre los vectores. La operación más comúnmente realizada en los vectores es la suma ymultiplicaciónde vectores.
Entre la variedad de operaciones, se incluyen la adición de dos vectores,...