Calculo Vectorial

ESIQIE-IPN

CALCULO SUPERIOR

ACADEMIA DE MATEMATICAS
ANGELINA ROSARIO GUZMÁN SÁNCHEZ
IGNACIO ELIZALDE MARTÍNEZ
AURELIO HERNÁNDEZ RAMÍREZ

INDICE

Capitulo I
Capitulo II
Capitulo III

Tensores
Cálculo Vectorial
Variable Compleja

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Pag. 133

CAPITULO I: TENSORES

Cálculo superior ESIQIE-IPN

CAPITULO I

TENSORES
ESPACIO VECTORIAL
Un espacio vectorialV es un conjunto no vacío con dos operaciones definidas: (1) suma entre sus
elementos y (2) multiplicación por escalares*; con las siguientes propiedades:
SUMA
Sean u, v y w elementos del espacio vectorial. Entonces:
1. u + v = v + u conmutatividad
2. (u + v) + w = u + (v + w) asociatividad
3. Debe existir un elemento 0 tal que u + 0 = u elemento neutro
4. Para cada u elemento del conjuntodebe existir un elemento -u tal que u + (-u) = 0 inverso
MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES
Sean α y β escalares y v y w elementos del espacio vectorial. Entonces:
1. α (βv)=( αβ)v asociatividad respecto a escalares
2. Debe existir el escalar 1 tal que 1v=v
3. α(v + w)= αv + αw distributividad respecto a vectores
4. (α + β)w= αv + βv distributividad respecto a escalares
A los elementos de unespacio vectorial se les llama vectores
Nota: los escalares son elementos de un campo*, generalmente los números reales o complejos.
PRODUCTO INTERNO
Se dice que el espacio vectorial es un espacio vectorial con producto interno si se define un
producto entre los vectores con las propiedades:
()
() (
)
()(
)()
()

En este texto abordaremos varios casos de espacios vectoriales con productointerno:
1. Números reales
2. Tensores
3. Vectores espaciales
4. Matrices
5. Números complejos
Base de un espacio vectorial

En los espacios vectoriales existe un concepto particularmente útil, la base, concepto que a su vez
requiere de la definición de independencia lineal.
A. ROSARIO GUZMÁN

ENERO – JUNIO 2012

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CAPITULO I: TENSORES

Cálculo superior ESIQIE-IPN

Sean
yescalares. Se dice que los vectores ,
y
son linealmente independientes,
si toda combinación lineal de ellos igual a cero implica que todos los escalares sean cero:
=
(1)
Esto significa que ninguno de los vectores puede despejarse en términos de los otros. En efecto,
si quisiéramos despejar por ejemplo , tendríamos que dividir entre
, que es cero. Como la
división por cero no está definida,no podemos llevar a cabo el despeje. Ya que ninguno de ellos se
puede escribir como una combinación lineal de los otros, se dice que son linealmente
independientes.
La base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores linealmente independientes que
“generan” al espacio. Esto último quiere decir que cualquier vector del espacio puede escribirse
como
una
combinación
lineal
de
loselementos
de
la
base.

El número de elementos de la base es la dimensión del espacio vectorial; en el caso que hemos
ilustrado, la dimensión es n. Cabe mencionar que existen espacios vectoriales de dimensión infinita.
La base de un espacio vectorial no es única, es decir, un espacio vectorial dado puede tener
diferentes representaciones.
Las bases puede clasificarse de acuerdo a suspropiedades en:
1. Bases ortogonales. Aquéllas en donde el producto interno de cualquier par de los
elementos de la base es cero. Pongamos como ejemplo la base de los vectores espaciales
de dimensión 3: i, j y k, con el producto escalar de vectores.
2. Bases normales. Se dice de aquéllas en donde el producto interno entre cualquier pareja de
elementos de la base es uno. Considere el mismo ejemplodel caso anterior
3. Bases constantes. Cuando los elementos de la base no cambian. Mismo ejemplo que en
los puntos 1 y 2.
4. Bases variables. Si los elementos de la base, aunque conservan su definición, pueden ser
diferentes de punto a punto. Ejemplo: base vectorial del sistema de coordenadas polares,
con los vectores base ̂ y ⏞.
Estas propiedades se analizarán con más detalle en el tema...