calculo vectorial

CÁLCULO VECTORIAL
Notas de clase

Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo

TEMA IV
INTEGRALES MÚLTIPLES

Resolución

INTEGRALES ITERADAS Y ÁREA EN EL PLANO

Desde el curso de Cálculo II se estudió la forma de derivar parcialmente a una
función de varias variables, derivando con respecto de una variable mientras las
demás permanecían constantes. En este tema se procederá demanera similar para
integrar funciones de varias variables.
Por ejemplo, para realizar una integral doble de la función
sobre
una región

se utiliza la notación

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Utilizar integración doble para obtener el área de la región

, posteriormente la región

se convierte en límites de integración, por lo que

el orden en el que se escriben lasdiferenciales es importante debido a que indica
el orden de integración.

Las integrales iteradas se realizan de adentro hacia afuera, y para realizar
la integral con respecto de

,

, se considera a

Resolución

como

constante.
Geométricam ente una integral del tipo

o bien

representa el área de la región encerrada por las curvas
,

; o bienS))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Evaluar la integral doble

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S

,

.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
INTEGRALES DOBLES Y VOLÚM ENES
Así como la integral definida

tiene como interpretación geométrica

el área bajo la curva de
, al realizar una integral doble agregando una
función escalar, se puede tener como interpretación, elvolumen bajo la superficie
; sin embargo, su aplicación no se restringe a volúmenes, mediante

INTEGRALES MÚLTIPLES
integración múltiple se pueden calcular probabilidades, centroides, centros de
masa, centros de gravedad, etc.

Definición
Dada una función definida sobre una región
acotada en el
plano
, entonces la integral doble de sobre
se define como

siempre y cuando el límiteexista.
Como se dijo, la interpretación geométrica de la integral doble es el
volumen bajo la superficie definida por , siempre que
. La siguiente figura
muestra un paralelepípedo representativo de las sumas de Riemann.

Resolución
La región de integración es:

Por lo que:

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Utilizar integracióndoble para obtener el volumen del siguiente sólido.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S

Ejemplo
Obtener el volumen del siguiente sólido mediante integración doble.

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CÁLCULO VECTORIAL

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S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Resolución
La región de integración es:

CAMBIO DE VARIABLES: COORDENADAS POLARES
En algunas ocasiones, debido a la geometría delproblema, es mucho más sencillo
resolver la integral se recurre a un cambio de variables; en particular si la
geometría involucra circunferencias, entonces las coordenadas polares pueden
resultar muy útiles.

Por lo que:

Teorema
Sea
cerrada

una función continua definida sobre una región plana
, entonces la integral doble de sobre la región es

igual aS))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo
Evaluar la integral

Debe de recordarse que la diferencial de área en coordenadas cartesianas
es
, y en coordenadas polares es
, donde además de las
diferenciales de las variables, aparece el jacobiano de la transformación.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
en coordenadas cartesianas, e invirtiendo el orden de integración.
ResoluciónS))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S

Ejemplo
Utilizar integración doble para obtener el área de la región encerrada por
la curva
, definida en coordenadas polares.

INTEGRALES MÚLTIPLES

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por la simetría de la figura, se tiene:

Resolución
Evidentemente, la geometría de la región posee circunferencias, por lo
que es más fácil resolver la integral utilizando coordenadas polares....