Calculo Vectorial

CÁLCULO VECTORIAL SERIE 2 Página 1 1) Calcular las coordenadas del punto P de la curva: r  t   1  2 t  i  ( t 2 ) j   2 e2t 1  k
en el que el vector r´  t  es paralelo a r  t  .
SOLUCION

P  1, 1 , 2 

.

2) Una partícula se mueve a lo largo de la trayectoria cuya ecuación vectorial es
r  t   et cos t i  et sent j , donde t es el tiempo, demostrar que el ánguloentre el vector de posición y el vector velocidad es constante y determinar el valor de dicho ángulo.
SOLUCION



 4
x2  y2  9 3  x  y

3) Determinar una ecuación vectorial de la curva: C : 
SOLUCION

. Trazar la grafica de C .

r  (3) i  ( z ) k

y

r  (3) j  ( z ) k , dibujo a criterio del profesor.

4) Determinar si la curva de ecuación vectorial r (t )  ( sen t) i  (cos t ) k , está contenida en
un plano.
SOLUCION

La curva es plana.
2 3

5) Sea C la curva de ecuaciones paramétricas x  t , y  t 2 , z  t 3 .
Calcular: a) la curvatura de C b) la torsión de C

CÁLCULO VECTORIAL SERIE 2 Página 2
SOLUCION

 

2 4 t  4 t2 1
4

2 4 t  4 t2 1
4

6) Sea la curva dada por r (t )  ( t 3  t 2 ) i  ( t 2  2 t 3 ) j   3 t 2  k.
a) Comprobar que dicha curva es plana. b) Obtener la ecuación cartesiana del plano que contiene a dicha curva.
SOLUCION

a) A criterio del profesor. b) 2 x  y  z  0

7) Dada la curva C cuya ecuación vectorial es obtener las coordenadas del centro de la
2  2    circunferencia de curvatura de C en el punto: r  t    2 t  t 3  i   2 t 2  j   2 t  t 3  k 3  3   obtener las coordenadas del centro de la circunferencia de curvatura de C en 8   4 el punto P  , 2 ,  . 3   3
SOLUCION

8  20 C - , 2 ,  3  3

8) Calcular el radio de curvatura del tiro parabólico en el punto más alto. La ecuación de la
posición de la partícula es: r   4  6t  i   6  8t  5t 2  j .
SOLUCION



36  3.6 10

CÁLCULO VECTORIAL SERIE 2 Página 3 9) Sea lacurva C de ecuación vectorial r  t    et sent  i    
 1 t 1 t  e  j   e cos t  k .   2   2 a) Obtener la ecuación vectorial de C en términos de su longitud de arco s de modo que cuando s=1 se tiene que t=0. b) Calcular el vector tangente unitario a la curva C en el punto t =  . 1 2

SOLUCION

s   s  s  a) r  s    sen  ln s   i    j   cos  ln s   k2   2  2   1  b)    i  j k 2 2 2

10) La ecuación vectorial de una curva C, que se genera por la intersección de un cilindro
 t2 t  parabólico y un plano, está dada por: r  t    2    i  t2 j  t k 3 2  a) Obtener las ecuaciones de las superficies citadas. dr 1 b) Obtener el vector normal principal a r  t  cuando   i2jk. dt 6 c) La ecuación del plano osculador parala condición anterior.
SOLUCION

a) Ecuación del plano: 6 x  2 y  3z  12 . 1 b)    48 i  33 j  74 k  2 48  332  742 c) A criterio del profesor.

Ecuación del cilindro: y = z 2 .

11) Sea C la curva cuya ecuación vectorial es
r  t    2t 2  2  i   at 3  t 3  j   t 4  t 2  4  k .
a) determinar el valor de la constante a de modo que C sea plana. b) Calcular lacurvatura de C en el punto donde t  1 .
SOLUCION

a) a = 1

CÁLCULO VECTORIAL SERIE 2 Página 4
b)

1024  0.08534 533 2

12) Sea C la curva cuya ecuación vectorial es: r  t   t i  t 2 j  t 3k .
a) Calcular la curvatura y torsión de la curva C en el punto P  2 ,4 ,8  . b) Determinar si la curva C es plana.
SOLUCION

181 3 161 ;  25921 181 b) A criterio del profesor.
a)   213) Calcular la curvatura de la hélice circular r  t   a cos t i  a sent j  b t k para a  0 .
SOLUCION



a a +b 2
2

14) La ecuación vectorial de una curva C está dada por: r  t   t i  t 2 j   4  t 2  t  k .
a) Obtener el vector normal  . b) Determinar si la curva es plana y en caso afirmativo obtener la ecuación del plano que la contiene.
SOLUCION

a)  

1...