Calculo Vectorial

MATEMÁTICAS VECTORIALES UDEC

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Índice

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1. Cálculo Diferencial
1.1. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Propiedades de los límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Reglas básicas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2.Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. La regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Cálculo Integral
2.1. Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Integrales denidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Vectores y Geometría del espacio
3.1.Vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. El producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Ángulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Cosenos directores . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6. Proyecciones y componentes vectoriales . . . . . . . . . . . . . 3.1.7. El producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Funciones vectoriales
4.1. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Derivación e integración de funcionesvectoriales . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Derivación de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Integración de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Vectores tangentes y vectores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Vectores tangentes y vectores normales . . . . . . . . . . . . .

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5. Funciones de varias variables
5.1. Límitede una función de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Derivadas direccionales y gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Gradiente de unafunción de dos variables . . . . . . . . . . .

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6. Integración múltiple
6.1. Integrales iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.

CÁLCULO DIFERENCIAL
Cálculo Diferencial

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1.1.

Límites

contiene a c (salvo posiblemente en c) y L un número real. La armación
x→c

Denición de Límite. Sea f una función denida enun intervalo abierto que
l´ f (x) = L ım

signica que para todo ε > 0 existe uno δ > 0 tal que si 0 < |x − c| < δ , entonces
|f (x)| < ε

Algunas funciones carecen de límite cuando x → c, pero aquellas que lo poseen no pueden tener dos límites diferentes cuando x → c. Es decir, si el límite de una función existe, entonces es único.

Ejemplo Determinar δ para un ε dado. Dado el límitex→3

l´ (2x − 5) = 1 ım

encontrar δ tal que |(2x − 5) − 1| < 0,01 siempre que 0 < |x − 3| < δ Solución En este problema se está trabajando con un valor dado de ε: ε = 0,001. Para encontrar un δ apropiado, se observa que
|(2x − 5) − 1| = |2x − 6| = 2|x − 3|

Como la desigualdad es equivalente a 2|x−3| < 0,01, se puede escoger δ = 1/2(0,001) = 0,005. Esta opción funciona porque
0 < |x − 3| <0,005

lo que implica que
|(2x − 5) − 1| = 2|x − 3| < 2(0,005) = 0,01

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CÁLCULO DIFERENCIAL

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1.1.1. Propiedades de los límites
El límite de f (x) cuando x se aproxima a c no depende del valor de f en x = c. Sin embargo, puede darse el caso de que este límite sea f (c). En esta situación, se puede evaluar el límite por sustitución directa. Esto es:
x→c

l´ f (x) = f (c) ım...