calculo vectorial

Tema 3

Curvas y superficies
Versi´n: 16 de febrero de 2009
o

3.1

Representaci´n gr´fica de curvas bidimensionales.
o
a

La representaci´n gr´fica de una curva en un ordenador es una linea poligonal construida uniendo
o
a
mediante segmentos rectos un conjunto discreto y ordenado de puntos: {(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn )}.
O

( N7 , O7 )

 N1 , O1 )

N1

N2N3

N4

N5

N6

N7

N

Figura 3.1: Linea poligonal determinada por un conjunto de puntos.
La l´
ınea as´ obtenida tendr´ mayor apariencia de “suave” cuanto m´s puntos se utilicen para construı
a
a
irla, ya que los segmentos ser´n imperceptibles (v´anse las Figuras 3.2 y 3.3).
a
e

3.1.1

Representaci´n gr´fica de funciones de una variable real
o
a

La relaci´n y = f (x),donde f : [a, b] → R es una funci´n de una variable real, se puede representar
o
o
gr´ficamente mediante una curva plana.
a
La construcci´n de dicha gr´fica en un ordenador b´sicamente sigue los siguientes pasos (ver la
o
a
a
Figura 3.1):
Construir un conjunto de puntos (tantos como se quiera) en el intervalo [a, b], que ser´n las
a
abscisas de los puntos que determinan la poligonal aconstruir. Normalmente, dichos puntos se
toman regularmente espaciados y en n´mero suficiente como para que la gr´fica tenga aspecto
u
a
“suave”:
{a = x1 , x2 , . . . , xn = b}
Calcular los valores de la funci´n f en los puntos anteriores:
o
{y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), . . . , yn = f (xn )}
21

Curvas y superficies

22

1

1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.60.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0

0.1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0

3.5

Figura 3.2: Representaci´n de y =
o
sen(x) en [0, π] con 8 puntos.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Figura 3.3: Representaci´n de y =
o
sen(x) en [0, π] con 100 puntos.

Unir los puntos (xi , yi ) consecutivos mediante segmentos rectos.
Cuando unacurva viene definida por una relaci´n del tipo y = f (x) se dice que est´ definida de
o
a
forma expl´
ıcita.
En ocasiones, una curva viene descrita por una relaci´n, tambi´n expl´
o
e
ıcita, pero del tipo:
x = g(y),

y ∈ [a, b].

Entonces ser´ necesario construir en primer lugar el conjunto de “ordenadas”
a
{a = y1 , y2 , . . . , yn = b}
y luego calcular las abscisas, como losvalores de la funci´n g:
o
{x1 = g(y1 ), x2 = g(y2 ), . . . , xn = g(yn )}.
7

6

5

4

3

2

1

0
−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Figura 3.4: Curva definida por la relaci´n x = y cos(4y), y ∈ [0, 2π].
o
Una relaci´n del tipo f (x, y) = 0 puede tambi´n representar, impl´
o
e
ıcitamente, una curva: la formada
por los puntos (x, y) del plano sobre los cuales la funci´n ftoma el valor cero. Se puede dibujar esta
o
curva dibujando la curva de nivel k = 0 de la funci´n f (ver Secci´n 3.2.4).
o
o

Curvas y superficies

3.1.2

23

Curvas planas definidas mediante ecuaciones param´tricas
e

Otra forma de definir una curva plana es mediante sus ecuaciones param´tricas, en la cual
e
los puntos (x, y) que forman la curva vienen dados por dos funciones quedependen de una variable
auxiliar:
x = f (t),

y = g(t),

t ∈ [a, b].

La variable t se suele llamar el par´metro de la curva.
a
Para construir la gr´fica de una curva definida de esta forma es preciso (ver el ejemplo de la
a
Figura 3.5:
Construir un conjunto de valores del par´metro t ∈ [a, b]:
a
{a = t1 , t2 , . . . , tn = b}
Calcular los valores x y de y para dichos valores delpar´metro:
a
{x1 = f (t1 ), x2 = f (t2 ), . . . , xn = f (tn )}
{y1 = g(t1 ), y2 = g(t2 ), . . . , yn = g(tn )}
Unir los puntos (xi , yi ) consecutivos mediante segmentos rectos.
10

Y
8

t=10

6

4

2

t=0

X
0

−2

−2

0

2

4

6

8

10

12

Figura 3.5: Representaci´n de la curva de ecuaciones
o
param´tricas x = t − 3 sen(t), y = 4 − 3 cos(t) para t ∈...