Calculo vectorial

Apéndice A

Operadores diferenciales
A.1.

Los conceptos de gradiente, divergencia y rotor

Sobre el concepto de gradiente. Si f (r) es una función escalar, entonces su gradiente, en
coordenadas cartesianas es,
∇ f (r) = ı
ˆ

∂f
ˆ
ˆ∂ f + k ∂ f
+j
∂x
∂y
∂z

(A.1)

Si la función f depende solo de la magnitud de r, es decir, f (r) = f (r) entonces
∇ f (r) =

r df
.
r dr(A.2)

Entre los puntos (x, y, z) y (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) la función f varía,
∆f =

∂f
∂f
∂f
∆x +
∆y +
∆z,
∂x
∂y
∂z

(A.3)

como lo muestra un simple desarrollo de Taylor de la función en torno al punto (x, y, z) y
puesto que como,
ˆ
ˆ
∆r = ı∆x + j∆y + k∆z
ˆ
(A.4)
entonces,
∆ f = ∇ f · ∆r.

(A.5)

El lado derecho es la variación de f (r) a lo largo de ∆r.
Si seconsidera una esfera infinitesimal alrededor del punto P0 = (x, y, z) y se calcula la
variación de f entre P0 y cada punto sobre la pequeña esfera, se denomina PM al punto
sobre la esfera para el cual dicha variación toma un valor máximo. Puesto que ∇ f evaluado
en P0 es un vector fijo, es obvio que la variación máxima ocurre cuando ∇ f es un vector
paralelo al vector ∆r que va desde P0 hasta PM .En conclusión, el gradiente de una función arbitraria f es un vector que siempre apunta en
la dirección en que la función crece más rápido.
A partir del punto P0 también existe la dirección hacia la cual la función disminuye más
rápido, la que es exactamente opuesta a la anterior. Entre PM y este otro punto hay una
curva sobre la esfera que corresponde a puntos en que la función no varía. Laexistencia

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versión preliminar

de dichos puntos es transparente si en A.5 se considera todas las direcciones para las
cuales ∆r es perpendicular al vector fijo ∇ f . En otras palabras, el anillo de puntos alrededor
de P0 que corresponde a puntos de variación nula de la función f define un disco que es
perpendicular a ∇ f .
La unión de todos estos discos infinitesimalesdefine la superficie sobre la cual la función
tiene un valor constante, es la superficie iso-f. Si, por ejemplo, f representa la temperatura
en cada punto de un cierto cuerpo que no está en equilibrio térmico, entonces a cada
punto P le está asociada una dirección del gradiente de la temperatura y por P pasa una
superficie de temperatura constante: una isoterma. De todo lo dicho se desprende que
elplano tangente a una superficie isoterma es perpendicular al gradiente calculado en el
punto de tangencia.
Se recuerda que
rB
rA

∇ f · dr = f (rB ) − f (rA ).

(A.6)

Esta integral no depende del camino que se escoja para ir de A a B lo que implica que la
integral de un gradiente sobre un camino cerrado es nula,
∇ f · dr = 0

(A.7)

Flujo. Se define el flujo de una función vectorialD(r) a través de una superficie S como la
integral,
Φ=

S

D · dS

(A.8)

donde d S = ndS , y n es el vector unitario normal a la superficie y dS el elemento infiniteˆ
ˆ
simal escalar de superficie. Normalmente la superficie S es abierta y finita, pero también
puede ser una superficie cerrada o bien una superficie abierta infinita. El signo del flujo
Φ depende del signo convencional que seescoja para n. En el caso de las superficies
ˆ
cerradas es estándar tomar n apuntando hacia afuera.
ˆ
A una función vectorial cualquiera, y que conviene que sea llamada campo vectorial se la
puede representar por líneas de campo. Basta con pasar por cada punto del espacio un
trazo infinitesimal en la dirección del campo. Así, la línea de campo que pasa por un punto
P cualquiera es una curva quepasa por P tal que su tangente, en cualquier otro punto Q de
la curva, apunta en la misma dirección que el campo en ese punto. A las líneas se les da
el sentido del campo. Suelen llamarse fuentes a los puntos del espacio de los que nacen o
mueren líneas de campo.
La idea de flujo a través de una superficie está vagamente asociada a la cantidad de líneas
que atraviesan la superficie.
Teorema...