Calculo vectorial

´ DOCE LECCIONES DE CALCULO VECTORIAL

Ernesto Acosta Gempeler Bernarda Aldana G´mez o

Escuela Colombiana de Ingenier´ ıa Julio Garavito

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´ Indice general

1. Vectores en R2 y R3 2. Ecuaciones de superficies en el espacio 3. Funciones vectoriales 4. Funciones de varias variables

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´ INDICE GENERAL

´ LECCION

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Vectores en R2 y R3

Hacemos unrecuento muy r´pido de los conceptos fundamentales de coordenadas de a puntos en el plano y en el espacio y de vectores bidimensionales y tridimensionales, as´ como de las operaciones entre vectores. ı

Para localizar puntos en el plano, se introducen dos ejes num´ricos perpendiculares e entre s´ cuyo punto O de intersecci´n es el origen de los ejes num´ricos, es decir, el ı, o e punto concoordenada cero en cada eje num´rico. A uno de estos ejes lo designamos e eje X y al otro eje Y . Estos dos ejes num´ricos definen en el plano un sistema de e coordenadas cartesianas rectangulares. Las coordenadas (x, y) de un punto P en el plano se obtienen proyect´ndolo ortogonalmente sobre los ejes X y Y , siendo x la a coordenada de la proyecci´n sobre el eje X y y la coordenada de la proyecci´nsobre o o el eje Y . La notaci´n P (x, y) significa el punto P de coordenadas (x, y). o

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´ LECCION 1. VECTORES EN R2 Y R3

Y y (x, y) X

x

Gr´fica 1.1 a Dada una pareja de n´meros reales (x, y), se ubica en el eje X el punto Px de cooru denada x y en el eje Y el punto Py de coordenada y. La recta perpendicular al eje X que contiene al puntoPx y la recta perpendicular al eje Y quecontiene al punto Py se intersectan en un punto P del plano. Este punto tiene coordenadas (x, y), ya que las proyecciones de P sobre los ejes num´ricos X y Y son los puntos Px y Py e con coordenadas x y y respectivamente. Y Py · Px P (x, y)

X

Gr´fica 1.2 a El mismo procedimiento se puede emplear para introducir un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio. En este casotendremos tres ejes num´ricos e X, Y , Z, perpendiculares entre si. Las coordenadas (x, y, z) de un punto P en el espacio, se obtienen con el mismo procedimiento.

3 Z z (x, y, z) y Y x X

Gr´fica 1.3 a Dos puntos P y Q definen los segmentos de recta dirigidos PQ y QP. Estos dos segmentos de recta se distinguen unicamente por su orientaci´n. Es decir, el segmento ´ o dirigido PQ lo pensamosrecorrido desde P hasta Q, y el segmento dirigido QP lo pensamos recorrido desde Q hasta P . Si introducimos un sistema de coordenadas en el espacio y (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) son las coordenadas de P y Q, respectivamente, los tres n´meros x2 − x1 , y2 − y1 y u z2 −z1 , son las componentes escalares del segmento dirigido PQ. Obs´rvese que cada e una de las componentes del segmento dirigido QP esel opuesto de la componente correspondiente del segmento dirigido PQ, de aqu´ la importancia de la orientaci´n ı o de los segmentos dirigidos. Dos segmentos dirigidos son equivalentes si sus componentes escalares correspondientes son iguales. No es dif´ mostrar que teniendo que ıcil los puntos P y R son diferentes, los segmentos dirigidos PQ y RS son equivalentes si, y solamente si, elcuadril´tero P QSR es un paralelogramo. a La igualdad de las componentes escalares correspondientes entre segmentos dirigidos es una relaci´n de equivalencia y cada clase de equivalencia es un vector geom´trico. o e Es decir, un vector (en este caso tridimensional) est´ representado por un segmena to dirigido PQ, o por cualquier otro segmento dirigido P’Q’ equivalente. As´ un ı, vector est´ completamentedeterminado por las componentes escalares de cualquier a segmento dirigido que lo representa. Se usa frecuentemente la notaci´n a, b, c para o denotar el vector con componentes escalares a, b y c y para notar los vectores las letras con tipo negrita, por ejemplo, u , v , etc. En adelante para decir que el vector

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´ LECCION 1. VECTORES EN R2 Y R3

v tiene componentes escalares x, y, z ,...