Calculo vectorial

´
Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM
a

2

1

Espacios vectoriales

2.1

Espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto V = ∅ sobre el que
hay definidas dos operaciones:
1. Suma:
+ : V × V −→ V
(u, v) −→ u + v
verificando las siguientes propiedades:
(a) Conmutativa: u + v = v + u, ∀u, v ∈ V .
(b)Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w), ∀u, v, w ∈ V .
(c) Elemento neutro: Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = 0 + u = u, ∀u ∈ V .
(d) Elemento opuesto: Para todo u ∈ V existe −u ∈ V tal que u + (−u) = (−u) + u = 0
2. Producto por un escalar:
· : K × V −→ V
(λ, u) −→ λ · u
verificando las siguientes propiedades:
(a) 1 · u = u, ∀u ∈ V .
(b) λ · (µ · u) = (λµ) · u, ∀λ, µ ∈ K, ∀u ∈ V .
(c) (λ + µ) · u = λ· u + µ · u, ∀λ, µ ∈ K, ∀u ∈ V .
(d) λ · (u + v) = λ · u + λ · v, ∀λ ∈ K, ∀u, v ∈ V .
Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores.
Un espacio vectorial real es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los n´meros reales.
u
Nota: En lo sucesivo, siempre que no haya confusi´n se omitir´ el punto (·) en la operaci´n
o
a
o
producto por escalar.

Ejemplos
Son espaciosvectoriales reales, con las operaciones que se indican, los siguientes:
1. El conjunto de n-uplas de n´meros reales:
u
Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) = (xi )1≤i≤n : xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n}
con las operaciones:
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
λx = (λx1 , λx2 , . . . , λxn )

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Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM
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2. El conjunto de matrices dedimensi´n n × m:
o
Mn×m (R) =

A = (aij ) 1≤i≤n : aij ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m
1≤j≤m

con las operaciones: suma de matrices y producto por n´meros reales.
u
3. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x:
n

ak xk : n ∈ N, ak ∈ R

P(R) =
k=0

con las cl´sicas operaciones de suma y producto por n´meros reales.
a
u
4. El conjunto de todos lospolinomios, con coeficientes reales en la variable x, de grado
menor o igual que n:
n

ak xk : ak ∈ R

Pn (R) =
k=0

con las mismas operaciones anteriores.
5. El conjunto de todas las funciones reales:
F(R) = {f : R −→ R}
con las operaciones: suma de funciones y producto por n´meros reales.
u
6. El conjunto de todas las sucesiones de n´meros reales:
u
S = {(xn )∞ : xn ∈ R, n ≥ 1}
n=0
conlas operaciones: suma de sucesiones y producto por n´meros reales.
u
7. Si Z2 = {0, 1}, entonces Zn es un espacio vectorial sobre el cuerpo Z2 , con las operaciones:
2
0+0=1+1=0, 0+1=1+0=1

2.2

y

0·0=0·1=1·0=0, 1·1=1

Propiedades

Si V es un espacio vectorial, entonces
1. 0 · u = 0.
2. (−1) · u = −u.
para todo u ∈ V .

2.3

Subespacio vectorial

Se llama subespaciovectorial de un espacio vectorial V a cualquier subconjunto no vac´
ıo
S ⊂ V que es espacio vectorial con las mismas operaciones definidas sobre V .

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Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM
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2.4

3

Caracterizaci´n de subespacios vectoriales
o

Si V es un espacio vectorial y S ⊂ V , S = ∅, entonces
S es subespacio vectorial de V ⇐⇒

(1) u + v ∈ S, ∀u, v ∈ S(2) λu ∈ S, ∀λ ∈ K y ∀u ∈ S

Demostraci´n:
o
(⇒) Evidente, pues S es espacio vectorial.
(⇐) (1) y (2) garantizan que las operaciones est´n bien definidas sobre S, al ser ´ste un conjunto
a
e
cerrado respecto de ellas. Adem´s, por ser S un subconjunto de V , se verifican todas las
a
propiedades de la suma y el producto siempre que sea cierto que 0 ∈ S y que el opuesto de
cualquierelemento de S est´ en S. Ahora bien, para cualquier u ∈ S,
a
0=0·u∈S

y

− u = (−1) · u ∈ S

luego S es un subespacio vectorial de V .

2.5

Corolario

Si V es un espacio vectorial y S ⊂ V , S = ∅, entonces
S es subespacio vectorial de V ⇐⇒ λu + µv ∈ S , ∀λ, µ ∈ K , ∀u, v ∈ S

Ejemplos
1. En todo espacio vectorial V , el conjunto {0} es un subespacio vectorial llamado subespacio...