calculo vectorial

I unidad
Coordenadas polares rectangulares cilíndricas esféricas

Sistema de coordenadas polares

Un sistema de coordenadas representa un punto en el plano por medio de un par
ordenado de números, llamados coordenados. Hasta ahora hemos empleado las
coordenadas cartesianas, que son distancias dirigidas por medio de dos ejes
perpendiculares.
En esta sección describiremos un sistema decoordenadas introducido por newton
llamado sistema de coordenadas polares. Elegimos un punto en el plano al que
llamamos polo u origen,
Coordenadas polares P. adoptaremos la convención que el ángulo es positivo si se
mide con dirección contraria de las manecillas del reloj, partiendo del eje polar, y
negativo en la dirección en la que sigue las manecillas del reloj. Si P=0.entonces r=0 y
sedice que (0, Ø) para abarcar que r es negativo.
Coordenadas cilíndricas y esféricas
El sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P del espacio tridimensional está
representado por la terna ordenada (r, Ø, z), donde r y Ø son las coordenadas polares
de la proyección del P en el plano" x" y "y" "z" es la distancia dirigida del plano x y a P
para convertir de coordenadas cilíndricas acoordenadas

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠∅

𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛∅

𝑧= 𝑧

Mientras que para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas usamos

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑡𝑎𝑛∅ =

𝑦
𝑥

𝑧= 𝑧

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de
un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que conocida con el eje de simetría.
Por ejemplo el eje del cilindro circular del lado contrario𝑐2 = 𝑥2 + 𝑦2
es el eje
de z. en la coordenadas cilíndricas, este cilindro tiene la ecuación r=c.

Las coordenadas esféricas (p, β, Ø) de un punto P en el espacio P=|OP| es la distancia
del origen a P, Ø es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas, y β es el
ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP note que
p≥0

0≤β≤π

El sistema de coordenadas esféricas esespecialmente útil en problemas donde
hay una simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto. Por ejemplo
la esfera con centro en el origen y radio c tienen la ecuación p=c

EJERCICIOS
a) Localiza con coordenadas cilíndricas (2,

2 𝜋
3

,1) y encuentre las coordenadas

rectangulares.
b) Encuentre las coordenadas cilíndricas del puntos (3,-3,-7)
𝜋

𝜋

c) Elpunto de (2, 4 , 3 ) se da en coordenadas esféricas localice el punto y encuentres
sus coordenadas rectangulares.
2

d) el punto (0, 3,-2) esta dado en coordenadas rectangulares encuentre las
coordenadas esferixas para este punto

e) grafique los puntos cuyas coordenadas polares son
5 𝜋

1) (1,

4

)

2) (2, 3𝜋)
3) (1,

−2 𝜋
3

)

f) Convertir los puntos dados en coordenadaspolares a cartesianas
a) (2,
b) (2,

𝜋
3

)

7 𝜋
4

)

II UNIDAD
FUNCIONES VECTORIALES
Una función con valores vectoriales es decir una función vectorial, es simplemente
una función cuyo dominio pertenece a todos los numero reales y cuyo rango es un
conjunto de vectores
El interés se centra más en las funciones vectoriales r cuyos valores son valores
tridimensionales r3
estoquiere decir que para cada numero t en el dominio de r hay un vector único v3
que se denota f(t), g(t) y h(t) que son las componentes de r (t) entonces f, g y h son
funciones de valores reales y les podemos decir funciones componentes de r y las
podemos escribir:
R(t)=f(t)I, g(t)j ,h(t)k
Se usa la letra “t” para denotar la variable independiente por que representa el tiempo
en la mayor partede las aplicaciones y funciones vectoriales
Ejemplo:
R=
Entonces las funciones componentes son:
F (t) =t3
G (t) =ln (3-t)
H (t) = (t) 1/2
De acuerdo con la convención usual, el dominio de r consta de todos los valores
de t para los cuales la expresión es r (t) está definida.
Todas las expresiones t3, ln (3-t,) (t)1/2 están definidas para cuando 3-t>0 y
t>-0.por lo tanto, dominio de r...