Calculo Vectorial

C´lculo Vectorial a
La primera parte del curso trata sobre conceptos matem´ticos (longitud, ´rea, volumen, campos a a de vectores, circulaci´n, flujo, gradiente, divergencia, rotacional, Laplaciano) y f´ o ısicos (masa, centro de masas, momento de inercia, trabajo, campos de fuerza de tipo gravitatorio, magn´tico o el´ctrico, e e campos de velocidades de fluidos, flujos de calor) que se definenmediante (o aparecen en) integrales. En la asignatura C´lculo 2 se fundament´ la integraci´n en dominios de Rn . Es imperativo dominar a o o las dos herramientas b´sicas all´ desarrolladas: el teorema de Fubini y los cambios de variable a a ı coordenadas polares, polares adaptadas a una elipse, cil´ ındricas, cil´ ındricas adaptadas, esf´ricas y e esf´ricas adaptadas a un elipsoide. e Aqu´ llevaremosun paso m´s all´ el estudio de integrales. Algunas de las preguntas que queremos ı a a responder, si el tiempo lo permite, son las siguientes: ¿C´mo podemos calcular la longitud de una curva o el ´rea de una superficie? o a Tenemos dos cuerpos s´lidos homog´neos del mismo “tama˜o”, masa y densidad, pero distinta o e n forma. ¿Cu´l posee menos resistencia a girar sobre un eje que los atraviesa porsu “centro”? a ¿Podemos calcular el ´rea de un lago sin mojarnos? a ¿C´mo funciona un plan´ o ımetro? ¿Qu´ relaci´n hay entre el flujo el´ctrico a trav´s de una superficie cerrada y la carga el´ctrica e o e e e que encierra? (La respuesta es la ley de Gauss, una de la cuatro ecuaciones de Maxwell.) ¿Es verdad que el campo gravitatorio creado por un planeta en su exterior es igual al creado por unamasa puntual situada en su centro que concentra toda su masa? (La respuesta es s´ ı. Una de las mayores contribuciones de Newton, sin duda.) Para evitar complicaciones innecesarias, todas las funciones que aparecen en este curso son, al menos, continuas a trozos y todos los dominios seran compactos y conexos con fronteras C 1 a trozos. Aplicaciones Esta secci´n persigue dos objetivos. Con la teor´presentar algunas aplicaciones f´ o ıa, ısicas de las integrales. Con los ejercicios propuestos, evaluar los conocimientos de integraci´n sobre dominios de o Rn . Todo aquel que no sepa hacerlos debe repasar sus apuntes de C´lculo 2. No es broma. a Longitud, ´rea y volumen. Estos tres conceptos son la base sobre la que se construyen muchos a otros. Se obtienen integrando la funci´n constante iguala uno sobre el dominio correspondiente: o Long(I) := Area(D) := Vol(W ) := 1 dx = b − a es la longitud del intervalo I = [a, b] ⊂ R; 1 dx dy es el ´rea del dominio 2D (plano) D ⊂ R2 ; y a D 1 dx dy dz es el volumen del dominio 3D (espacial) W ⊂ R3 . W
b a

Ejercicio. Calcular el ´rea de una elipse de semiejes a y b. Se puede hacer de dos formas: usando a polares adaptadas a la elipse odeformando un c´ ırculo por una transformaci´n lineal. Soluci´n: πab. o o Ejercicio. Calcular el volumen del s´lido de Steinmetz de radio R (la intersecci´n de dos cilindros o o de radio R cuyos ejes se cortan perpendicularmente). Conviene aplicar el principio de Cavalieri a los cuadrados que se obtienen al seccionar la regi´n por planos paralelos a ambos ejes. Soluci´n: 16R3 /3. o o Promedio de unafunci´n. El promedio de N cantidades f1 , . . . , fN ∈ R es igual al cociente o 1 f1 + · · · + fN ¯ = f := N N
N

fi .
i=1

En el caso continuo, basta substituir la suma por la integral y N por la longitud, ´rea o volumen: a ¯ := 1 b f (x) dx es el promedio de la funci´n f : I = [a, b] ⊂ R → R; f o b−a a 1 ¯ f := Area(D) D f (x, y) dx dy es el promedio de la funci´n f : D ⊂ R2 → R; y o 1 ¯ := f f(x, y, z) dx dy dz es el promedio de la funci´n f : W ⊂ R3 → R. o
Vol(W ) W 1

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Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf

El promedio de cualquier funci´n est´ comprendido entre sus valores m´ o a ınimo y m´ximo: a ¯ m´ f ≤ f ≤ m´x f. ın a En particular, se cumple el Teorema del valor medio para integrales: La integral de una funci´n o continua sobre un dominio (1D, 2D o...