Calculo Vectorial

1) Campos escalares

Un campo escalar en es una función, donde es un subconjunto de . Usualmente Ω será un conjunto abierto. Para tenemos un campo escalar en el plano, que tendrá la forma Para tendremos un campo escalar en el espacio, dado por una expresión
En Física, un campo escalar describe una magnitud con valores escalares, de forma que Ω es una región del plano o del espacio y,para cada punto es el valor en el punto x de dicha magnitud física. Piénsese, por ejemplo, en un campo de temperaturas. Definición de gradiente. Sea f un campo escalar definido en un abierto Ωy sea Ω. Supongamos que f es diferenciable en el punto a, con lo que existen la n derivadas parciales de f en a:



donde {e1, e2,. . ., en} es la base standard de . Entonces, el gradiente de en el puntoa es, por definición, el vector dado por:



Si el campo es diferenciable en todos los puntos de tendremos una función que a cada punto hace corresponder el vector gradiente en dicho punto, . Es natural entonces escribir:



una igualdad entre funciones, válida en todo punto de

2) Gradiente
Gradiente en el plano: Para un campo escalar plano , que sea diferenciable en un punto ,tendremos:



Cuando f sea diferenciable en un abierto podremos escribir:




Gradiente en el espacio:
Análogamente, si es un campo escalar en el espacio, diferenciable en un punto , tendremos:

y cuando sea diferenciable en un abierto podremos escribir:


Derivadas direccionales:
Consideremos de nuevo un campo escalar definido en un abierto y diferenciable en un punto .Fijado un vector con , sabemos que la derivada direccional de en la dirección u viene dada por:


y mide la rapidez de variación de f al desplazarnos desde el punto a en la dirección del vector u. La desigualdad de Cauchy-Schwartz nos da:



Si , podemos conseguir que las desigualdades anteriores sean igualdades tomando y tenemos una interpretación física del gradiente de un campo escalar:es la máxima rapidez de variación del campo que podemos conseguir al desplazarnos desde elpunto a; esta máxima variación se produce en la dirección del vector gradiente, más concretamente,
el máximo aumento se consigue en el sentido del vector gradiente y la máxima disminución en sentido opuesto.

Campos vectoriales
Campos vectoriales. Un campo vectorial en es una función donde es unsubconjunto de que usualmente será abierto. Por tanto, un campo vectorial tiene n coordenadas, que son campos escalares; concretamente, para , el vector deberá tener la forma:


más explícitamente,




o abreviadamente:

Es claro que, para la función así definida es un campo escalar en . Veamos la notación que suele usarse en los dos casos particulares que nos interesan.
Un campovectorial en el plano vendrá dado por una función (x,y) 7! definida en un conjunto y con valores en . Sus componentes suelen denotarse por P y Q, con lo que, para , tendremos:


o, abreviadamente: .
Es costumbre representar gráficamente un campo vectorial plano haciendo que, para cada , el vector tenga su origen en el punto x, obteniéndose una imagen que sugiere claramente un “campo” de vectores.Las componentes de un campo vectorial , definido en y con valores en suelen denotarse por , de forma que, para , se tendrá:



o, abreviadamente:
Los campos vectoriales aparecen con frecuencia en Física, para representar magnitudes vectoriales: para cada punto x de una región en el plano o en el espacio es el valor en ese punto de la magnitud vectorial descrita por el campo. Piénsesepor ejemplo en el campo de velocidades de un fluido en movimiento o en campos de fuerzas, como un campo gravitatorio o electromagnético.

3) Divergencia de un campo vectorial
Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto W _ Rn y consideremos sus coordenadas Supongamos que F es diferenciable en un punto , lo que sabemos equivale a que todos los campos escalares sean diferenciables...