calculo vectorial

2.1 Ecuación paramétrica de la línea recta.
2.2 Curvas planas.
2.2.1 Curva cerrada
2.2.2 Curva simple
2.3 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica.
2.3.1 Eliminación de parámetro.
2.4 Derivada de una función dada paramétricamente.
2.4.1 Pendiente.
2.4.2 Derivadas de orden superior.
2.5 Coordenadas polares.
2.5.1 Cambio de coordenadas.
2.6 Graficaciónde curvas planas en coordenadas polares.















2.1 Ecuación paramétrica de la línea recta.
Suponga que una partícula se mueve en un plano de modo que las coordenadas (x, y), de su posición en cualquier tiempo t, están dados por las ecuaciones:

Entonces, para cada número t del dominio común f y g la particular se encuentra en el punto (f(t), g(t)) y estos puntosdescriben una curva plana C recorridas por las partículas.

Las ecuaciones se denominan ecuaciones paramétricas de C y la variable t se llama parámetro.
Ejemplo 1
Obtenga una ecuación cartesiana de la curva definida por las ecuaciones paramétricas, (dibuje la curva).

Solución. El parámetro t se elimina de las dos ecuaciones al resolverse la primera ecuación pues t, despejada es lo siguiente:Y al sustituirlo en la segundo ecuación. Obtenemos la ecuación:











2.2 Curvas Planas.
Una curva plana C es un conjunto de puntos P(x, y) cuyas coordenadas están dadas por las ecuaciones paramétricas y en donde f y g están continuas en un intervalo I.
Se denominan ecuaciones paramétricas y t se llama el parámetro. El conjunto de puntos (x, y) obtenido cuando t varía enel intervalo I se llama la gráfica de las ecuaciones paramétricas. El par formado por las ecuaciones paramétricas y su gráfica recibe el nombre de curva plana, y se denota por C.


Ejemplo 1:

Obtenga una ecuación cartesiana de la gráfica de las ecuaciones paramétricas de:

Y dibuje la gráfica.
Se elevan al cuadrado, las ecuaciones y se llega a la ecuación.





2.2.1 CurvaCerrada.
Una curva plana C definida por las ecuaciones y para. Se dice que es cerrada si el punto inicia y el punto termina, coinciden.

2.2.2 Curva Simple.
Una curva plana C definida por dos ecuaciones y para, se dice que es simple entre los puntos y si es diferente al punto para toda diferentes.

2.3 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y surepresentación.
Definición de curva plana.
Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, las ecuaciones
e
se denominan ecuaciones paramétricas y t se llama el parámetro. El conjunto de puntos (x, y) obtenido cuando t varía en el intervalo I se llama la gráfica de las ecuaciones paramétricas. El par formado por las ecuaciones paramétricas y su gráfica recibe el nombre de curvaplana, y se denota por C.










Ejemplo 1:
Trazar la gráfica de la curva que tiene las ecuaciones paramétricas.


Solución. Tabular desde [-1,2], y así obtener los pares ordenados (x, y).
t
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
1
0.25
0
0.25
1
2.25
4
y
-1
-0.13
0
0.125
1
3.375
8



Si Se considera en términos de movimientos, entonces cuando t aumenta de -1 a 2,un punto P parte de (1,-1), avanza hacia arriba por la rama inferior, pasa suavemente a la rama superior y finalmente se detiene en (4,8)





Ejemplo 2:
Una circunferencia puede ser parametrizada en términos de un ángulo central.

De la figura se ve que las ecuaciones proporcionan todos los puntos de la circunferencia.

Ejemplo 3: Trazado de una curva
Dibujar la curvadescrita por las ecuaciones paramétricas.


Solución: para valores de t en el intercalo dado, las ecuaciones paramétricas proporcionan los puntos (x, y) de la tabla.
t
-2
-1
0
1
0
3
X
0
-3
-4
-3
0
5
y
-1
-1
2
0
1
2
1
3
2




Marcado los puntos en orden creciente de t y usando la continuidad de f y g, se obtiene la curva C de la figura 9.18. Observemos que...