Calculo Vectorial

´
ALGEBRA LINEAL APLICACIONES
Por: LADERAS HUILLCAHUARI, Edison
Octubre de 2011

1.

Preliminares:

1.1.

Espacios Vectoriales:

En lo que sigue del art´
ıculo solo se tratar´ con espacios vectoriales reales
a
Definici´n 1 Un espacio vectorial E es un conjunto cuyos elementos son llamados vectores en el
o
cual se han definido dos operaciones:
La adici´n: que a cada par devectores u, v de E le asocia el vector u + v de E
o
La multiplicaci´n por un escalar: que a cada α de y cada v de E le asocia el vector α · v , y que
o
estas operaciones deben cumplir los siguientes axiomas para cada α, β de
y u, v , w de E .

R

R

1. Conmutatividad: u + v = v + u
2. Asociatividad: (u + v ) + w = u + (v + w); (αβ ) · v = α · (β · v )
3. Vector nulo: Existe un vector 0 ∈ E, llamado vector nulo, tal que v + 0 = v
4. Inverso aditivo: Para cada v ∈ E , existe un −v ∈ E , tal que v + (−v ) = 0;
−v es llamado el inverso aditivo de v
5. Distributividad: (α + β )v = αv + βv ; α(u + v ) = αu + αv
6. Multiplicaci´n por 1 :
o

1·v =v

Teorema 1 (Propiedades) Sea E un espacio vectorial u, v , w ∈ E ; α ∈

R.

1. Si w + u = w + v , entonces u = v .

R, v ∈ E ,entonces 0 · v = 0.
3. Dado α ∈ R, 0 ∈ E , entonces α · 0 = 0.
2. Dado 0 ∈

4. Si α = 0 y v = 0, entonces α · v = 0.
5. (−1) · v = −v .
Ejemplo 1 Sea el conjunto E =

1.2.

Rn = {(x1, x2, · · · , xn)/x1, x2, · · · , xn ∈ R}

Subespacios y Generadores:

Dado un espacio vectorial E y un subconjunto F de E , diremos que F es un subespacio vectorial
o simplemente subespacio de E si lasoperaciones definidas en E (adici´n de vectores y multiplicaci´n
o
o
de un vector por un escalar) restringidas al conjunto F satisfacen los axiomas de espacio vectorial
dadas en la definici´n 1.
o
Aqui damos un teorema que es util para reconocer subespacios de un espacio vectorial dado.
´
Teorema 2 Sea E un espacio vectorial, un subconjunto F de E es un subespacio de E si:
1

1. 0 ∈ F2. Si u, v ∈ F , entonces u + v ∈ F
3. Si v ∈ F , entonces para todo α ∈

R se tiene α · v ∈ F

Definici´n 2 Dado X ⊂ E , donde E es un espacio vectorial. El subespacio vectorial de E generado
o
por X es el conjunto de todas las combinaciones lineales
α1 v1 + · · · + αn vn
de vectores v1 , · · · , vn de X .
Observaciones:
1.) Al subespacio de E generado por X lo denotartemos por S (X ),X se llamar´ un generador de
a
S (X ); S (X ) puede tener mas de un generador.
2.) S (X ) es un subspacio de E , para todo X ⊂ E , adem´s X ⊂ S (X ).
a
3.) S (X ) es el menor subespacio de E que contiene a X ; es decir, si X ⊂ F y F es un subespacio de
E , entonces S (X ) ⊂ F .
4.) Si X es un subespacio de E , entonces S (X ) = X .
5.) Si S (X ) = E , diremos que X es un conjunto degeneradores de E .

R

Ejemplo 2 El espacio vectorial real n es generado por X = {e1 , · · · , en }, donde ei es un elemento
de n cuya i−´sima coordenada es 1 y el resto de sus coordenadas son 0.
e

R

Ejemplo 3 El espacio vectorial real Pn de los polinomios de grado menor o igual a n, es generado
por X = {1, x, x2 , x3 , · · · , xn }

2.

Bases y dimensi´n:
o

2.1.

Dependencia eindependencia lineal:

Sea E un espacio vectorial, diremos que X ⊂ E es linealmente independiente (L.I.) si ningun vector
v ∈ X es combinaci´n lineal de otros vectores de X .
o
As´
ı:
X ⊂ E es L.I. si todo v ∈ X no se puede escribir como v = α1 v1 + · · · + αn vn , donde v ∈
/
{v1 , · · · , vn } ⊂ X .
X ⊂ E no es L.I. si existe un v ∈ X tal que v es una combinaci´n lineal de otrosvectores de X .
o
El siguiente teorema permite reconocer subconjuntos linealmente independientes de un espacio
vectorial cualquiera.
Teorema 3 Sea X un subconjunto LI en el espacio vectorial E :
Si α1 v1 + · · · + αn vn = 0 con v1 , · · · , vn ∈ X ; α1 , · · · , αn ∈ entonces α1 = · · · = αn = 0
Rec´
ıprocamente si la unica combinaci´n lineal nula de vectores de X es aquella cuyos coeficientes...