calculo vectorial

CAPITULO 2
_____________________________

“Espero que la posteridad me juzgue con
benevolencia, no solo por las cosas que he
explicado, sino también por aquellas que he
omitido intencionadamente, para dejar a los
demás el placer de descubrirlas”

René Descartes.

GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8

Ecuación del plano en R3.
Distancia de un puntoa un plano.
Formas de expresar la recta en R3.
Rectas y planos en R3.
Distancia de un punto a una recta.
Funciones de varias variables.
Superficies cuadráticas en R3.
Coordenadas cilíndricas y esféricas.

2.1

ECUACIÓN DEL PLANO EN R3

Como podemos apreciar en la figura 2-1, toda superficie plana tiene como
característica común su vector normal; por cuanto este es constante sobretodo el plano
π (las superficies que no sean planas no tienen un vector normal constante),
aprovechando esta característica, supongamos que el plano π tiene como vector
normal: N : (a, b, c) y contiene al punto P0 : (x0, y0, z0). El punto P : (x, y, z) representa
un punto cualquier del plano π ; entonces:

N: (a,b,c)

π

. y, z)
P(x,

V
P0(x0, y0, z0)

Figura 2 -1

V = (x-x0, y-y0,z-z0)
Como V pertenece a

π , es perpendicular a N ⇒

V• N = 0

V • N = a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0
ax + by + cz + d = 0; donde
d = -ax0 – by0 – cz0
ax + by + cz + d = 0

⇒ Ecuación del plano π en R3.

2.1 Ecuación del plano en R3

23

Donde: a, b, c son las coordenadas del vector normal y d se puede calcular
remplazando en la ecuación del plano el punto P0.
Recordemos quepara encontrar la ecuación matemática de los puntos que
pertenece a un plano, se utiliza como referencia el vector normal al plano. Todo plano
tiene dos vectores normales, como lo indica la figura 2-2:

π

Para efecto de encontrar la
ecuación del plano nos
podemos referir a cualquiera
de estos vectores normales
indistintamente

Figura 2-2

Un plano está definido por:
a)
b)
c)
d)e)

Su vector normal y un punto del plano
Tres puntos no alineados
Una recta y un punto fuera de ella
Dos rectas que se corten
Dos rectas paralelas no alabeadas

Caso (a):
Ejemplo 2-1

Encontrar la ecuación del plano perpendicular al vector 2i – j + 4k
y que contiene al punto (1, -1, 2).

Solución:

N : (2, -1, 4)
Entonces:
2x – y + 4z + d = 0
2(1) – (-1) + 4(2) + d = 0
d =-11
2x – y + 4z = 11, es la ecuación del plano

2.1 Ecuación del plano en R3

24

Caso (b):
Ejemplo 2-2

Encontrar la ecuación del plano que contiene a los puntos:
(2, 2, -3); (3, -1, 4); (-2, 5, 3)

Solución:

Sin importarnos que la ubicación de los puntos no sea la correcta,
razonemos este ejercicio con la ayuda de la figura 2-3

π

N

.P

3

V2

.P

V1
2

P1Figura 2 -3

P1 : (2, 2, -3)
P2 : (3, -1, 4)
P3 : (-2, 5, 3)
V1 : (1, -3, 7)
V2 : (-4, 3, 6)

i

j

k

N = 1 − 3 7 = (−39,−34,−9)
−4 3 6

2.2 Distancia de un punto al plano

25

− 39 x − 34 y − 9 z + d = 0
− 39( 2) − 34( 2) − 9( −3) + d = 0
⇒ d = 119
− 39 x − 34 y − 9 z + 119 = 0
39 x + 34 y + 9 z = 119
Los casos c, d y e los revisaremos una vez que estudiemos laecuación de la
recta en R3, sección 2-4

2-2

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Sea “dis” la distancia de un punto cualquiera a un plano; si el punto no
pertenece al plano dis > 0, si el punto pertenece al plano dis = 0, para efecto del análisis
que vamos hacer supongamos que el punto no pertenece al plano; entonces:

dis > 0 ⇒ Po ∉ π
P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∉ π , en la figura 2-4 podemos verel razonamiento de este
procedimiento:

Z

P0: (x0, y0, z0)
“

“dis”

V

N

P: (x, y,z)

Y

X

Figura 2-4

2.2 Distancia de un punto al plano

26

dis: Proyección escalar de V sobre N
Dado el plano ax + by + cz + d = 0 y el punto P0 = (x0, y0, z0)

V : ( x o − x, y o − y , z o − z )
N : (a, b, c)
ˆ
N=

( a , b, c )
a2 + b2 + c2

dis = ( x o − x, y o − y , z...