Calculo Vectorial

U I.- T 1: Elementos de Cálculo Vectorial

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1.- MAGNITUDES VECTORIALES
En general, las magnitudes físicas se pueden clasifican en escalares y vectoriales, según los datos que se precisen para definirlas y para medirlas. Magnitudes escalares: Muchas cantidades físicas quedan completamente definidas cuando para su medida se les asigna un número real que expresa su intensidad respecto dealguna unidad conveniente, de su misma naturaleza, con la que se las compara. Se denominan magnitudes escalares. Ej.: longitud de una varilla, d = 2’35 metros; duración de una canción, t = 3’28 minutos. Magnitudes vectoriales: Otras cantidades físicas requieren para su determinación dar: + un número real que exprese su comparación con una unidad adoptada (como en las magnitudes escalares). Se ledenomina módulo o intensidad de la magnitud vectorial. Ej.: la velocidad de una moto es 108 km/h + datos que especifiquen su dirección y sentido. Ej.: la velocidad de la moto anterior está dirigida de norte a sur (dirección), hacia el sur (sentido). En el estudio de las magnitudes escalares, el físico hace uso del formalismo matemático que le proporciona el Álgebra de los números reales. En cambio,para el estudio de las magnitudes vectoriales acude al Álgebra vectorial, ciencia que toma como elemento básico el vector, ente matemático que consta de módulo o intensidad, dirección y sentido (como veremos). La Física aprovecha esta Álgebra para representar y operar con las diversas magnitudes vectoriales: fuerzas, velocidades, aceleraciones, ...

2.- VECTORES: DEFINICIONES
Vector: es unsegmento orientado. Por tanto, consta al menos de un módulo o intensidad (longitud del segmento), de una dirección y de un sentido. Se expresa mediante una o varias letras, superponiéndoles una flechita, o escribiéndolas en negrita: r a a OB

Su módulo se expresa así: r |a| a |a |

OB

r Mod( a )

r r Vectores iguales: a y b son iguales sii tienen igual r r módulo, dirección y sentido. Seexpresa así: a = b (sii quiere decir “si y sólo si”).
r r Vectores opuestos: a y c son opuestos sii tienen igual módulo y dirección, pero son de sentido contrario.
Versor o vector unitario, o vector unidad: es aquél cuyo módulo es 1. Se expresa de diferentes formas; por ejemr plo, el vector unitario en la dirección y sentido del vector a r puede escribirse: u a , o bien â .

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Por definición pues se tendrá:

r | ua | = | â | = 1

r Vector nulo, 0 .

r r El vector 0 es nulo sii | 0 | = 0

3.- CLASES DE VECTORES
Los vectores pueden ser: - libres: Para definirlos bastan los tres elementos anteriormente citados: módulo, dirección y sentido. Su punto de aplicación se sitúa en cualquier punto del espacio. Por tanto, un vector libre novaría cuando se traslada en el espacio paralelamente a sí mismo. - deslizantes o cursores: el vector requiere para su definición, además de determódulo, dirección y sentido, su recta de posición. Por tanto, un cursor puede deslizarse minar su por su recta de posición; pero no puede salir de ella, pues resultaría otro vector diferente. - fijos o ligados a un punto: tienen su punto de aplicacióndefinido. Por consiguiente, no pueden ser desplazados de su posición en el espacio. Dos vectores cualesquiera (libres, cursores o fijos) que tienen igual módulo, dirección y sentido se denominan equipolentes.

4.- ADICIÓN DE VECTORES
r r r Def.: Dados a y b , se define su suma s , y se expresa r r r s = a + b , como un vector establecido así: r r + se llevan a y b a coincidir sus orígenes. + seconstruye el paralelogramo que determinan. r + el vector diagonal, de origen común, es el vector suma s .

5.- MULTIPLICACIÓN POR UN Nº REAL
r r Def.: Dado el vector a y el nº real m, se define el producto de a por m, y lo expresamos r r p = m a , como un vector establecido así:

+ su módulo es p = |m| a r + su dirección es la del vector a r + su sentido es el de a si m > 0, r u opuesto al de a...