Calculo Vectorial

DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES
A continuación vamos a introducir, mediante el uso de ejemplos, el concepto de funciones de varias variables y apuntaremos la relevancia que tiene para el estudiante de ingeniería.
Ejemplos de funciones de varias variables
Tras haber entendido el concepto de función de una variable, el hecho de generalizarlo en el caso de varias variables nopresenta problemas desde el punto de vista conceptual, pero en cambio, sı introduce un grado mas de complejidad. Por este motivo, en el presente modulo desarrollaremos las herramientas que nos permitirán utilizar al máximo nuestros conocimientos sobre funciones de una variable y así, comprender mejor las funciones con mas de una variable.
Ejemplo:
Dados dos números cualesquiera x e y, su mediaaritmética es el numero intermedio entre ambos, es decir:
x+y2
En general, dados n números x1, x2, ………..xn su media aritmética es el número:
Mx1,x2……….,xn=x1+x2+…xnn
La media aritmética es, pues, una función M(x1, x2, ……. ,xn) de n variables

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Sea f: G⊆Rn⟶R G abierto y no vacío. Supongamos que dfdxi existe para todos los puntos de . En consecuencia laderivada parcial  dfdxi es una nueva función definida en el mismo conjunto G, es decir una nueva función de las  variables x1,x2,…,xn. En otras palabras,

dfdxi f: G⊆Rn⟶R
Por lo tanto, nada nos impide volver a considerar derivadas parciales de esta nueva función respecto a las mismas variables x1,x2,…,xn. En el caso que estas derivadas existan, se denominan derivadas de segundo orden. Por ejemplo,si derivamos la función dfdxi respecto a la variable xj la segunda derivada resultante se escribirá en cuales quiera de las siguientes formas:
d2fdxidxja; fxixja; Dijfa; Dxi, xjfa.
En el caso especial, en que i=j, es costumbre usar, en lugar de la primera forma indicada arriba, la siguiente expresión:
d2jdxi2(a)
Las otras formas de notación no varían. En el caso que i≠j se habla de derivadaparcial mixta.
Derivadas parciales de orden superior se definen y se denotan usando un patrón similar al de las derivadas de segundo orden. Por ejemplo, si primero derivamos respecto a la variable xi después respecto a la variable xj luego dos veces respecto a la primera variable xt y finalmente respecto a la variable xk, la derivada parcial resultante será de 5orden y se denotará por,d5fdxidxjdxt2dxk(a)

Ejemplo
Encuentre todas las derivadas parciales de segundo orden de la función:
fx,y,z=x2+ysinxz.
Solución. Las derivadas de primer orden son:
dfdx=2x+yzcosxz
dfdy=sin(xz)
dfdz=xycos(xz)
Las derivadas mixtas de segundo orden son:
d2fdxdy=d2fdydx=zcosxz
d2fdxdz=d2fdzdx=ycosxz-xyzsin(xz)
d2fdydz=d2fdzdy=xcosxz

Finalmente, el resto de las derivadas parciales de segundoorden son:
d2fdx2=2-yz2sin(xz)
d2fdx2=0
d2fdx2=-x2ysin(xz)
En general una función de n variables tiene n2derivadas de segundo orden y de ellas  n(n-1)son mixtas.

Si se observa cuidadosamente el problema anterior, se puede ver que las derivadas mixtas no cambian de valor si permutamos las variables. Esto es, se cumple que:
d2fdxidxj=d2fdxjdxi

REGLA DE LA CADENA
En cálculo, la regla de lacadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

DESCRIPCION DE LA REGLA
En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculadacon el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

DESCRIPCIÓN ALGEBRAICA
En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si f es diferenciable en x,  y g es una función diferenciable en f(x), entonces la función compuesta   g o fx=g(f(x)) es diferenciable en x y
g o f'x=d(g o...