CALCULO VECTORIAL

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNEFA. NÚCLEO ARAGUA - SEDE MARACAY

Prof. Armando Díaz. Mat III.

CALCULO VECTORIAL
Definición: Una función f cuyo dominio es el conjunto R n , n ≥ 2 y cuya
imagen es un conjunto de los números reales, es un campo escalar.
INTEGRALES DE LINEA DE CAMPOS ESCALARES

Definición: Si f está definida sobre una curva suave C del plano, dada por
las ecuacionesparamétricas x = x(t) , y = y(t), a  t  b o, lo que es
equivalente, a la ecuación vectorial r(t) = (x(t), y(t)), entonces la integral
de línea de f respecto a la longitud de arco, a lo largo de C es

b

 f ( x, y)ds  

C

a

 2  x y ds

2

2

 dx   dy 
f x(t ), y (t )       dt   f (r (t )) r´(t )dt
 dt   dt 
a
b

2

Evaluar

C

x2  y2  1

donde es la mitad superior de lacircunferencia

Definición: C es una curva suave a trozos, si es la unión de un número
finito de curvas suaves

C1 , C2 ,..., Cn , entonces:

 f ( x, y)ds   f ( x, y)ds   f ( x, y)ds       f ( x, y)ds
C

Evaluar

 2 xds
C

C1

C2

Cn

, donde C consiste en el arco de parábola

y  x 2 del punto A (0, 0) a punto B(1, 1); seguido del segmento de recta
desde B(1, 1) hasta D(1, 2)

Definición:La integral de línea respecto a x es:
b

 f ( x, y)dx   f ( x(t ), y(t )) x´(t )dt

C

a

Definición: La integral de línea respecto a y es:
b

 f ( x, y)dy   f ( x(t ), y(t )) y´(t )dt

C

a

La suma de las integrales de línea anteriores se puede abreviar mediante la
siguiente igualdad:

 P( x, y)dx   Q( x,. y)dy   P( x, y)dx  Q( x, y)dy
C

C

C

Evaluar

 y dx  xdy
2

C

1. C = C1es el segmento de recta desde el punto A(-5, -3) hasta el
punto B(0, 2)

2. C = C 2 es el arco de la parábola
hasta el punto B(0, 2)

x  4  y 2 desde el punto A(-5, -3)

Definición: Si f está definida sobre una curva suave C del espacio, dada
por las ecuaciones paramétricas x = x(t) , y = y(t), z = z(t), a  t  b o, lo
que es equivalente, a la ecuación vectorial r(t) = (x(t), y(t), z(t)),entonces
la integral de línea de f respecto a la longitud de arco, a lo largo de C
es



C

2

 dx   dy 
f ( x, y, z )ds   f x(t ), y (t ), z (t )      
 dt   dt 
a
b

2

2

 dy 
  dt
 dx 

 ysenzds donde C es la hélice circular de ecuaciones x = cost,

Evaluar

C

y = sent, z = t,

Evaluar

0  t  2

 yd x  zdy  xdz donde C1 es segmento de recta

desde A(2, 0, 0)

C

aB(3, 4, 5), seguido de C2 :segmento desde B(3, 4, 5)hasta D(3, 4, 0).

Evaluemos sobre C1

Evaluemos sobre C2

Así tenemos que

CAMPOS VECTORIALES
Definición: Sea D en subconjunto del plano. Un campo vectorial sobre el
plano es una función F que asigna, a cada punto (x ,y) de D un vector de
dos dimensiones, F(x, y).

Definición: Sea D en subconjunto del espacio. Un campo vectorial sobre
elespacio es una función F que asigna, a cada punto (x ,y, z) de D un
vector de tres dimensiones, F(x, y, z).

INTEGRALES DE LINEA DE CAMPOS VECTORIALES
Definición: Sea F un campo vectorial continuo definido sobre una curva C
dada por una función vectorial r(t), a  t  b . Entonces la integral
de línea de F a lo largo de C es.
b

 F  dr   F (r (t ))  r´(t )dt   F  Tds .

C

a

C

F(r(t)) =F(x(t),y(t),z(t)) y “  ” es el producto escalar de vectores

2
Mostrar el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(x,y) = x i  xyj al
mover una partícula a través del cuarto de circunferencia

r(t) = costi + sentj, 0  t 


2

La relación de integrales de línea de campos vectoriales e integrales de
línea de campos escalares viene dada por la igualdad:

 F  dr   P, Q, R  dr  Pdx  Qdy Rdz , donde F  (P, Q, R)
C

C

C

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA.
Definición: Si F es un campo vectorial continuo con dominio D, decimos
que la integral de línea  F  dr es independiente de la trayectoria si
C

 F  dr   F  dr para cualesquiera dos trayectorias C

1

C1

y C 2 en D que

C2

tengan el mismo origen y el mismo extremo.
Definición: Dado z = f(x,y), entonces su diferencial...