Calculo

- Unidad I

marzo 2010

Funciones Vectoriales de R → R 1 Introducción

Función Vectorial n

La Geometría Afin y la Geometría Vectorial son dos ámbitos que contienen los mismos elementos denominados vectores. La Geometría Afin opera sobre un espacio que contiene sólo puntos, . expresándolo como Espacio Puntual o bien Espacio Afin y que denotaremos . . permiten establecer una transformaciónlineal deDos puntos distintos P, Q ∈ nominada traslación en la que, si se escribe : P → Q, se entenderá P como punto

π

π

τ

inicial y Q como punto final (ambos son los extremos de la traslación y la recta P Q es el soporte de la traslación). Se establece otra representación para : P → Q denominada bipunto, denotada
−→

←→

τ

como P Q y también denominada vector. . se definen dosoperaciones para sus elementos, una cerrada denominada suma En y otra abierta denominada multiplicación por escalar. Ambas operaciones se entienden como composición de traslaciones. Dos traslaciones admiten cuatro posibles posiciones relativas dos de ellas paralelas (una coincidente) reconocidas como linealmente dependientes (Ld) y las otras dos no paralelas (una con intersección no vacía) conocidascomo linealmente independiente (Li). . es un espacio adimensional (es decir, no tiene ningún punto origen y tampoco se contempla base ni norma alguna). . La Geometría Vectorial opera sobre , fijando un punto llamado origen , estableciendo un conjunto finito de vectores (Li) y generadores denominado base. A un espacio basado en una geometría vectorial lo denominamos Espacio Vectorial denotándolosimplemente como e.v. Vector es una entidad algebraica que no tiene forma alguna aúnque geométrica−→ mente se la representa como una flecha. La notación ◦◦, no es un vector, representa un vector. . Por último, la interrelación entre estos ámbitos se logra operando en para obtener formulismos intrínsecos (libre de coordenadas) que son de validez general y desarrollables (sujeto a coordenadas) en unespacio vectorial asociado.

π

π

π

π

W. Moscoso

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Función Vectorial

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Conceptos básicos

Definición 1: Traslación-Vector

τ : P → Q ::
−→

traslación de P hasta Q

P Q :: Notación que representa la traslación. −→ La expresión flecha tipo ◦◦ es expresable como
→

.

Definición 2: Dependencia Lineal
Sea P Q y ω de modo queP Q=ω. → → Dos vectores u, v son (Ld) ssi ∃ λ ∈ R tal → → que u= λ v ; si λ ∈ R son (Li). P Q, RS ⊂ L. Cuando P Q=P Q , P Q, P Q coinciden ssi P, Q, P , Q ∈L.
↔ −→ −→ →

Si P, Q, R, S ∈L (son colineales) ocurre
−→ −→ ↔ −→ −→ −→

↔

−→

Definición 3: Extensión:
En π , λ ∈ R da cuenta del tamaño geométrico de un vector respecto de otro, ambos (Ld) y asumidos comparables. El concepto denorma, longitud, largo o medida de un vector no tiene sentido en este espacio, pues no se considera referencial alguno. La extensión de un vector es su tamaño geométrico el cual no responde a ninguna norma.
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Definición 4: Relación de Chasles
Dadas τ 1 : A → B, τ 2 : B → C en π , ∃τ = τ 2 ◦ τ 1 (compuesta de τ 2 con τ 1, en tal orden), se escriben: u τ : A → B≡τ (A) = B≡ AB ≡ → −→ v τ : A → B≡τ (B) = C≡ BC ≡ → τ (A) = (τ ◦ τ ) (A) = τ (τ (A)) −→ → = τ (B) = C≡ AC ≡ w → → → → → (τ ◦ τ ) (A) = C≡ v ⊕ u=w= u ⊕ v
1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1

.

−→

(⊕: suma de vectores.)

Definición 5: Vector Nulo e Inverso Aditivo
Sean A, B ∈

π.

.

La traslación identidad
−→ → −→ −→ → −→

τ

representa con elsímbolo AA= 0 denominado vector nulo.
−→ −→

: A → A≡τ (A) = A se

Por Chasles: AA=AB ⊕ BA= 0 ⇒ BA= AB se denomina In−→ verso de AB. Abuso de lenguaje: es la sustitución de alguna terminología sofisticada por otra más simplificada que tenga el mismo significado. Así, por abuso de lenguaje, el inverso anterior se escribe: −→ −→ −→ → −→ −→ AA=AB + BA= 0 ⇒BA= − AB.

W. Moscoso

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