Calculo

Ingeniería Matemática

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08- 1

ÁÒ

ÍÒ Ú Ö×

Ò Ö

Ð º л Ð ÙÐÓº Ò ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ× Ò ÓÖÑ Ò ÅÖ Ø Ñ ÙØ Ð × Ö Ð ÒÑ Ð ÙÖ×Óº ØØÔ »»ÛÛÛº ѺÙ

Importante:

Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ

Ð

SEMANA 2: AXIOMAS DE ORDEN

1.6.

Axiomas de Orden de los Reales

È Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ð ÓÖ Ò Ò ÐÓ× Ö Ð ×Ý ÔÓ Ö ØÖ Ö ÓÒ ×¹ ٠Р׸ Ü ×Ø Ò Ú Ö× × ÓÖÑ × Ô Ö ÓÑ ÒÞ Öº Ò ×Ø ÔÙÒØ ÑÓ× × Ó Ó Ð Ú Ö× Ò ÕÙ ÓÑ ÒÞ ÔÓÖ Ð Ò Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ö Ð × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ× Ý Ò × ÐÐÓ× × Ó Ø Ò Ò Ð × Ò ÓÒ × Ð × × Ù Ð × Ý ØÓ × Ð × ÔÖÓÔ ×º Ò R Ü ×Ø ÙÒ ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ ÐÐ Ñ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ð × ´ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ µ ÔÓ× Ø ÚÓ× (R∗ )¸ Ð Ù Ð × Ø × ÐÓ× × Ù ÒØ × Ü ÓÑ × Ó Ö Ð ×º +
∀x ∈ R¸
Ü ÓÑ

Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ñ ×Ö Ô ÐÑ ¹Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × ÒÓØ ÓÒ ×º

ÙÒ Ý ×ÓÐÓ ÙÒ

º ´

Ð

ØÖ ÓØÓÑ

Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × × Ú Ö

µ

Ö

ܺ º ÌÖ ÓØÓÑ

µ µ µ

x ∈ R∗ + (−x) ∈ R∗ + x=0

Ç × ÖÚ

Ò ÙÑÔÐ Ö× ´ µ × ÔÓ× Ø ÚÓ Ý × × ÙÑÔÐ ´ µ Ö ÑÓ× ÕÙ Ü ÓÑ º ´ Ð Ù×ÙÖ µ

x

ÕÙ x × ÙÒ Ö Ð ×ØÖ Ø Ñ ÒØ × ÙÒ Ö Ð ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓº
ܺ º Ð Ù×ÙÖ ÐÓ× Ö Ð × ÔÓ× Ø ÚÓ×

(∀x, y ∈ R∗ ) +

× ÙÑÔÐ ÕÙ

(x + y) ∈ R∗ +×
1.7.

x · y ∈ R∗ +

Ö¸ R∗ × ÖÖ Ó Ô Ö Ð ×ÙÑ Ý Ð ÔÖÓ Ù ØÓº + ÓÒ × Ò ÓÖÔÓÖ Ö

Relaciones de orden

Ð×

ÓÖ ÕÙ ÓÒÓ ÑÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ R∗ ¸ ×Ø ÑÓ× Ò ÓÒ + Ò ÓÒ × ÐÓ× × Ñ ÓÐÓ× , ≤, ≥º
ÓÒ × ÓÖ Ò

Ê Ð

ÔÓÖ

Ë Ò x, y ∈ R ×

Ò Ð Ö Ð ÓÒ × ¸ ≤¸ ≥¸

½º ¾º ¿º º

x < y ⇐⇒ (y − x) ∈ R∗ +
∗ x > y ⇐⇒ y < x ⇐⇒ (x − y) ∈ R+

x ≤ y ⇐⇒ (x < y) ∨ (x = y) x ≥ y ⇐⇒ (x > y) ∨ (x = y)

¾¿

ÁÒÍÒ Ú Ö×

Ò Ö

Å Ø Ñ Ø

Ð

1.8.
ÈÖÓÔ

Propiedades de la desigualdad
½ x > 0 ⇐⇒ x ∈ R∗ +

∗ R+ ¸ ÐÓ ÕÙ

ÑÓ×ØÖ

×

Òº x > 0
ÒØ

ÓÒ ×ØÓ ÕÙ

ÑÓ×ØÖ

ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ñ ÒØ Ð ÜÔÖ × Ò x ∈ R∗ º + Ð ÕÙ Ú Ð Ò

Ò

Ò ÓÒ ×º

(x−0) ∈

Ð × ÔÖÓÔÓ×

ÈÖÓÔ

¾ x ×Ò

Ø ÚÓ ⇐⇒ x < 0.

x < 0 ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ò Ò (0−x) ∈ ∗ R+ ¸ ÓÒ ÐÓ Ù Ð × Ø Ò ÕÙ −x ∈ R∗ ¸ ÓÒ ÐÓ Ù Ð × ØÒ ÕÙ x × Ò Ø ÚÓº +

ÑÓ×ØÖ

Òº

ÈÖÓÔ ¿ ´ØÖ ÓØÓÑ µ È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö ÒÙÑ ÖÓ× Ö ÙÒ Ý × ÐÓ ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × × Ú Ö Ö

Ð ×x

y¸

µ xy µ x=y

Ð × × R ÒØÓÒ × ÙÒ Ý × ÐÓ ÙÒ µ(y − x) ∈ R∗ ¸ µ −(y − x) ∈ R∗ , Ó + + ËÒ Ñ Ö Ó µ × Ò x < yº µ × Ò ÐÑ ÒØ µ× Ò x = y º ÓÒ ÐÓ
ÈÖÓÔ

ÑÓ×ØÖ

Òº Ë

Ò

Ð

Ü ÓÑ

½

Ð ØÖ ÓØÓÑ ¸ ÓÑÓ (y − x) ∈ Ù ÒØ × ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × × Ú Ö Ö Ò µ (y − x) = 0º Ò(x − y) ∈ R∗ ¸ Ó × ¸ x > y º + Ù Ð× Ø Ò Ð ÑÓ×ØÖ Òº

x < y Ý a ∈ R =⇒ x + a < y + a.

y + a + ((−x) + (−a)) y + (−x) + a + (−a) y − x, Ô ÖÓ ÔÓÖ Ô Ø × × × ÑÓ× ÕÙ x < y ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ (y + a) − (x + a) > 0 ÓÒ x + a < y + aº

(x + a) > 0 (y + a) − (x + a) = = =

ÑÓ×ØÖ

Òº Î

ÑÓ× ÕÙ (y + a) − (x + a) ∈ R∗ × +

Ö ÕÙ (y + a) −

ÕÙ y − x > 0, ÐÙ

Ó

Ç × ÖÚ Ñ Ó× Ð ÈÖÓÔ

Ò

Ó×

Ð

ÓÒ×Ø ÐØ Ñ ÔÖÓÔ × Ù Ð Ý ×Ø ÒÓ

ÔÓ ÑÓ× ×ÙÑ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ñ º

µ x < y ∧ a > 0 ⇒ ax < ay ¾

ÁÒ
µ

ÍÒ Ú Ö×

Ò Ö

Å Ø Ñ Ø

Ð

x < y ∧ a < 0 ⇒ ax > ay

ÑÓ×ØÖ
Ñ ×

Òº
Ý ¿ Ø Ò

µ ÈÓÖ

Ô Ø × ×

Ö ÑÓ× ÕÙ

ax < ay º
µ

(y − x) ∈ R∗ Ý a ∈ R∗ ¸ + + a(y − x) = ay − ax ∈ R∗ ¸ +

ÔÓÖ ÐÓ×

Ü Ó¹

ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ

ax − ay = a(x − y) = (−a)(y − x) ∈ R∗ =⇒ ax > ay º +
Ò
Ð ¸ Ô ÖÓ× ÓÒ Ð × Ð ÔÖÓÔ Ù Ð Ý × ¸ ÔÓ ×Ø × Ò ÑÓ× ÑÙÐØ ÔÐ Ð ÐÑ ÒØÓ Ø ÚÓ Ð × Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ × Ñ Ù Ð Ö º ѹ

Ç × ÖÚ
Ó× Ð ÒÓ Ñ Ó×

× ÔÓ× Ø ÚÓ Ð Ù Ð ×

Ð Ñ ÒØÓ

ÈÖÓÔ

∀x ∈ R ⇒ x2 ≥ 0º x ∈ R∗ ∨ x = 0 ∨ (−x) ∈ R∗ + + x · x ∈ R∗ ∨ x2 = 0 ∨ (−x)(−x) ∈ R∗ + + x2 ∈ R∗ ∨ x2 = 0 ∨ x2 ∈ R∗ + + x2 > 0 ∨ x2 = 0 x2 ≥ 0. 1 = 1 · 1 = 12 ≥ 0¸ Ô ÖÓ 1 = 0¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø

x ∈ R =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒
ÓÑ ÒØ Ö Ó ×ØÓ

ÑÓ×ØÖ

ÒºÈÓÖ

Ð

Ü ÓÑ

½

ØÖ

ÓØÓÑ

×

ÑÓ×

ÒØÓ

1 > 0ÐÙ

Óº

ÓÒ

1 ∈ R∗ º +

ÈÖÓÔ

Ë

x 0 ∧ x < 0º
½½

Òº

ÈÖÓÔ

Ë
1 y

0 −a

5(x − 1) > 2 − (17 − 3x)
ËÓÐÙ Ò

ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ×ÓÐÙ Ò × Ö

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

5(x − 1) 5x − 5 2x x

> > > >

2 − (17 − 3x) −15 + 3x −10 −5

x ∈ (−5, ∞)º

¾

ÁÒ
1.10.3. Inecuaciones de grado mayor a 1

ÍÒ Ú Ö×

Ò Ö

Å...