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Páginas: 8 (1946 palabras)
Publicado: 27 de julio de 2011
APLICACIONES DE LA MATEMATICA INTRODUCCION AL CALCULO AXIOMATICA DE LOS NUMEROS REALES
PROFESOR: CHRISTIAN CORTES D.
I) LOS NUMEROS REALES. Designaremos por R, al conjunto de los números reales. En R existen dos operaciones bináreas internas llamadas suma (o adición) y multiplicación ( o producto). La suma de los reales x e y se denota por x+y El producto de los reales x e y se denota porxy R, satisface los siguientes axiomas: A1) Asociatividad de la suma. Para todo x, y , z ∈ R, x+(y+z)=(x+y)+z A2) Conmutatividad de la suma. Para todo x,y ∈ R, x+y = y+x A3) Elemento neutro aditivo. Existe en R un elemento llamado cero y denotado por 0, tal que para todo x∈ R, x+0=x A4) Elemento inverso aditivo. Para todo número real x, existe otro número real llamado el inverso aditivo de x ydenotado por -x, tal que x+(-x)=0 A5) Asociatividad del producto. Para todo x,y,z ∈ R, x(yz)=(xy)z A6) Conmutatividad del producto. Para todo x,y ∈ R, xy=yx A7) Neutro multiplicativo. Existe en R un elemento llamado "uno", y denotado por 1, tal que para todo x ∈ R, x1=x A8) Inverso multiplicativo. Para todo número real x distinto de 0, existe otro real llamado inverso multiplcativo de x y denotado porx -1 , tal que xx-1 =1. A9) Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma. Para todo número real x, y, z ∈ R, x(y+z)=xy+xz. Obs.: Por el hecho de satisfacer R, los axiomas A1 a A9, diremos que R, es un cuerpo. Obs.: Por ser la suma y la multiplicación operaciones bináreas en R, se tiene que: (i) S¡ x,y ∈ R, entonces x+y ∈ R. (ii) S¡ x, y ∈ R, entonces xy ∈ R.
Algunas reglasalgebraicas deducidas de los axiomas. 1) Ley de cancelación de la suma. Sí a+x=a+y, entonces x=y Observacion: Este teorema claramente presenta la forma habitual: hipótesis implica tesis. Hipótesis (lo que se sabe) : a+x=a+y Tesis ( lo que hay que demostrar): x=y
Es decir debemos demostrar que x=y, si ocurre que a+x=a+y, solamente usando los axiomas. Fundamento x=x+0 x + 0 = x + (a + (-a)) x + (a +(-a)) = (x + a) + (-a) (x + a) + (-a) = (a + x) + (-a) (a + x) + (-a) = (a + y) + (-a) (a + y) + (-a) = (y + a) + (-a) (y + a) + (-a) = y + (a + (-a)) y + (a + (-a)) = y + 0 y+0=y 2) a·0 = 0 Demostración. a·0 = a·(0 + 0) = a·0 + a·0 Luego a·0 = a·0 + a·0 0 = a·0 A3) A9) Cancelación A3) A4) A1) A2) hipótesis A2) A1) A3) A4)
3) La ecuación a+x = b, tiene solución única. Demostración: Acá debemosdemostrar dos cosas: a) La ecuación a+x=b tiene solución. Sea x= a+(-b), entonces, x es solución de la ecuación.
b) Unicidad. Supongamos que x1 y x2 son soluciones de la ecuación. Sí es así a+x1=b, y a+x2=b, Por lo tanto, a+x1=a+x2 usando la ley de cancelación de la suma, se tiene que x1=x2. Luego podemos concluir que no hay dos valores para x, sino sólo 1. 4) Ley de cancelación del producto.Sí ax=ay, entonces x=y siempre que "a" sea distinto de cero Demostración: tarea Definición 1 : 1) La solución de a+x = b se llama diferencia entre a y b y se denota por b-a, es decir a+(-b) = a-b. 2) la solución de ax=b, se llama cuociente entre b y a y se denota por b/a ó b:a, es decir ba-1 = b/a.
5) La ecuación ax=b con "a" distinto de 0, tiene solución única.
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Demostración: tarea 6)Cero es único. Demostración : tarea 7) -a es único. demostración: tarea 8) 1 es único. demostración: tarea 9) a -1 es único. demostración: tarea 10) -(-a) = a 11) (a-1 ) -1 = a 12) a(-b) = -ab 13) (-a)(-b) = ab 14) Sí ab= 0 entonces a=0 o b=0 15) -(a+b) = (-a) + (-b) 16) (ab)-1 = a -1 b-1 17) a - (b + c) = a - b - c 18) a - (b - c) = a - b + c 19) ac = a bc b 20) a + c = ad + bc b d bd 21) a _ c =ad -bc b d bd 22) a . c = ac b d bd
23) a : c = ad b d bc 24) a . c = ac b b 25) a : c = a
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b
bc ORDEN EN R
En R, existen algunos elementos llamados reales positivos, que forman un subconjunto de R, denotado por R+. El conjunto de los reales positivos satisface los dos siguientes axiomas: O1) Sí x,y ∈ R+, entonces x+y ∈ R+, y xy ∈ R+. O2) Dado cualquier real x, una y solo una de...
PROFESOR: CHRISTIAN CORTES D.
I) LOS NUMEROS REALES. Designaremos por R, al conjunto de los números reales. En R existen dos operaciones bináreas internas llamadas suma (o adición) y multiplicación ( o producto). La suma de los reales x e y se denota por x+y El producto de los reales x e y se denota porxy R, satisface los siguientes axiomas: A1) Asociatividad de la suma. Para todo x, y , z ∈ R, x+(y+z)=(x+y)+z A2) Conmutatividad de la suma. Para todo x,y ∈ R, x+y = y+x A3) Elemento neutro aditivo. Existe en R un elemento llamado cero y denotado por 0, tal que para todo x∈ R, x+0=x A4) Elemento inverso aditivo. Para todo número real x, existe otro número real llamado el inverso aditivo de x ydenotado por -x, tal que x+(-x)=0 A5) Asociatividad del producto. Para todo x,y,z ∈ R, x(yz)=(xy)z A6) Conmutatividad del producto. Para todo x,y ∈ R, xy=yx A7) Neutro multiplicativo. Existe en R un elemento llamado "uno", y denotado por 1, tal que para todo x ∈ R, x1=x A8) Inverso multiplicativo. Para todo número real x distinto de 0, existe otro real llamado inverso multiplcativo de x y denotado porx -1 , tal que xx-1 =1. A9) Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma. Para todo número real x, y, z ∈ R, x(y+z)=xy+xz. Obs.: Por el hecho de satisfacer R, los axiomas A1 a A9, diremos que R, es un cuerpo. Obs.: Por ser la suma y la multiplicación operaciones bináreas en R, se tiene que: (i) S¡ x,y ∈ R, entonces x+y ∈ R. (ii) S¡ x, y ∈ R, entonces xy ∈ R.
Algunas reglasalgebraicas deducidas de los axiomas. 1) Ley de cancelación de la suma. Sí a+x=a+y, entonces x=y Observacion: Este teorema claramente presenta la forma habitual: hipótesis implica tesis. Hipótesis (lo que se sabe) : a+x=a+y Tesis ( lo que hay que demostrar): x=y
Es decir debemos demostrar que x=y, si ocurre que a+x=a+y, solamente usando los axiomas. Fundamento x=x+0 x + 0 = x + (a + (-a)) x + (a +(-a)) = (x + a) + (-a) (x + a) + (-a) = (a + x) + (-a) (a + x) + (-a) = (a + y) + (-a) (a + y) + (-a) = (y + a) + (-a) (y + a) + (-a) = y + (a + (-a)) y + (a + (-a)) = y + 0 y+0=y 2) a·0 = 0 Demostración. a·0 = a·(0 + 0) = a·0 + a·0 Luego a·0 = a·0 + a·0 0 = a·0 A3) A9) Cancelación A3) A4) A1) A2) hipótesis A2) A1) A3) A4)
3) La ecuación a+x = b, tiene solución única. Demostración: Acá debemosdemostrar dos cosas: a) La ecuación a+x=b tiene solución. Sea x= a+(-b), entonces, x es solución de la ecuación.
b) Unicidad. Supongamos que x1 y x2 son soluciones de la ecuación. Sí es así a+x1=b, y a+x2=b, Por lo tanto, a+x1=a+x2 usando la ley de cancelación de la suma, se tiene que x1=x2. Luego podemos concluir que no hay dos valores para x, sino sólo 1. 4) Ley de cancelación del producto.Sí ax=ay, entonces x=y siempre que "a" sea distinto de cero Demostración: tarea Definición 1 : 1) La solución de a+x = b se llama diferencia entre a y b y se denota por b-a, es decir a+(-b) = a-b. 2) la solución de ax=b, se llama cuociente entre b y a y se denota por b/a ó b:a, es decir ba-1 = b/a.
5) La ecuación ax=b con "a" distinto de 0, tiene solución única.
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Demostración: tarea 6)Cero es único. Demostración : tarea 7) -a es único. demostración: tarea 8) 1 es único. demostración: tarea 9) a -1 es único. demostración: tarea 10) -(-a) = a 11) (a-1 ) -1 = a 12) a(-b) = -ab 13) (-a)(-b) = ab 14) Sí ab= 0 entonces a=0 o b=0 15) -(a+b) = (-a) + (-b) 16) (ab)-1 = a -1 b-1 17) a - (b + c) = a - b - c 18) a - (b - c) = a - b + c 19) ac = a bc b 20) a + c = ad + bc b d bd 21) a _ c =ad -bc b d bd 22) a . c = ac b d bd
23) a : c = ad b d bc 24) a . c = ac b b 25) a : c = a
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b
bc ORDEN EN R
En R, existen algunos elementos llamados reales positivos, que forman un subconjunto de R, denotado por R+. El conjunto de los reales positivos satisface los dos siguientes axiomas: O1) Sí x,y ∈ R+, entonces x+y ∈ R+, y xy ∈ R+. O2) Dado cualquier real x, una y solo una de...
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