calculo

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Cap´
ıtulo 5: Integrales impropias

Cap´
ıtulo 5

Integrales impropias
5.1

Introducci´n
o

Definici´n 5.1.1 La integral:
o

b

f (x)dx
a

se dice:
(1) Impropia de primera especie si a = −∞ o b = ∞ o ambas posibilidades.
(2) Impropia de segunda especie si f (x) no es acotada en uno o m´s valores pertea
necientes al intervalo a, b . Tales puntos donde f (x) no est´acotada se denominan
a
singularidades de f .
(3) Impropia de tercera especie si es impropia de primera y de segunda especie respectivamente.
Nota:
Volumen de revoluci´n por medio de capas cil´
o
ındricas.
Tal como vemos en la figura 5.1, una capa cil´
ındrica es una regi´n acotada por
o
medio de dos cilindros circulares rectos y
conc´ntricos de igual altura h. Si el ciline
dro interiortiene radio basal r1 y el exterior tiene radio basal r2 , entonces el volumen encerrado es:

Y

2
2
V = πr2 h − πr1 h =

X

Fig. 5.1

r1 + r2
(r2 − r1 )h = 2π¯h∆r ,
r
2
luego, el volumen de revoluci´n de un
o
s´lido de revoluci´n por medio de capas
o
o
cil´
ındricas en torno al eje de ordenadas
ser´:
a
= 2π

b

V = 2π

xf (x)dx .
a

o
o
Problema 5.1.1 Determinarel volumen del s´lido de revoluci´n que se genera al rotar la
2
curva f (x) = e−x en torno al eje de ordenadas entre x = 0 y x = b cuando b → ∞.

170

CALCULO INTEGRAL

Fernando Arenas Daza

Soluci´n:
o
Considerando la figura 5.2, resulta:
∞

V = 2π

2

xe−x dx =

Y

0
b

= 2π lim

b→∞

0

= −π lim

X

O

b
b→∞

2

xe−x dx =

e

−x2

2

d(−x ) =0
2

= π lim e−x
b→∞

0
b

=π.

Fig. 5.2

En este ejemplo obtuvimos una integral
impropia de primera especie.

Problema 5.1.2 Calcular el ´rea encerrada por la curva f (x) =
a
tiene 0 ≤ x ≤

6
3
,x= .
5
5

cuando se

Soluci´n:
o
Considerando la figura 5.3, nos damos
cuenta que la funci´n f no est´ acotada
o
a
3
en x = . Por tal motivo, tendremos:
5

Y

3
5−h

σ = lim

h→0

O

2
3

1
5x − 3

3/5

6/5

X

0
6
5

+ lim

h→0

3
5 +h

2
3

1
5x − 3
1
5x − 3

2
3

dx+

dx ,

es claro que:
Fig. 5.3

dx
(5x − 3)

2
3

=

1
5

d(5x − 3)
(5x − 3)

2
3

=

1 √
·3 3 5x − 3 .
5

Luego:
σ=

3
5

lim

h→0

3

5

√
√
3
3
3
− h − 3 + 3 + lim
3−
h→0
5

3

5

3
+h −3
5En este ejemplo obtuvimos una integral impropia de segunda especie.
Problema 5.1.3 Estudiar la integral:
4
1

dx
x(4 − x)

.

=

6√
3
3.
5

171

Cap´
ıtulo 5: Integrales impropias

Soluci´n:
o
En este ejemplo parece que tenemos una integral impropia de segunda especie. En ella
hagamos:
u2 = 4 − x ⇒

dx = −2udu ,

x

4
1

→u

0
√

3

,

por lo tanto:4
1

dx
x(4 − x)

√
3

=2
0

√
3

du
√
=2
4 − u2

u
2

d

0

1−

√
u
2

2

= 2 Arcsen

3
2π
=
,
2
3

no es impropia.
b

Teorema 5.1.1 Sea

f (x)dx una integral impropia de segunda especie con singularidad
a

en b (o bien en a), entonces puede transformarse en una integral impropia de primera especie.

Demostraci´n:
o
H´gase : u =
a

1
1⇒b−x= ⇒
b−x
u
b

luego :

dx =

du
u2

∞

f

f (x)dx =

b−

1
b−a

a

Si la singularidad es en a, h´gase v =
a

,
1
u

x

b
a

→u

∞
1
b−a

,

du
.
u2

1
y proc´dase por analog´
e
ıa.
x−a

Notas:
(1) Con el teorema anterior es suficiente estudiar la convergencia de las integrales impropias
de primera especie, pero pecaremos estudiandotambi´n la convergencia de las integrales
e
impropias de segunda especie.
(2) Se tiene, seg´n hemos visto, que:
u
∞

b

f (x)dx = lim
a

b→∞

f (x)dx ,
a

as´ la integral de la izquierda converger´ o diverger´ de acuerdo a que el l´
ı
a
a
ımite de la derecha
exista o no: Por analog´
ıa:
b

b

f (x)dx = lim
−∞

a→−∞

f (x)dx ;
a

(3) Para las integrales impropias...