Calculo

CÁLCULO
Ingeniería Industrial. Curso 2008-2009. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.

Lección 3. Curvas en polares.
Resumen de la lección. 3.1. Gráficas en coordenadas polares. Sistema de coordenadas polares. El sistema de coordenadas polares en el plano se basa en la elección como sistema de referencia para R2 el punto O (el origen de coordenadas) y el semiejepolar, correspondiente a la parte positiva del eje OX cartesiano. Las coordenadas polares de un punto del plano P ∈ R2 son (r, θ) donde: r es el radio polar, esto es la distancia del punto P al origen de coordenadas O; y θ es el ángulo polar, esto es el ángulo que forma el segmento OP con el semieje polar medido en sentido positivo (contrario al movimiento del reloj). Cada punto del plano distinto delorigen puede representarse de manera única en coordenadas polares, con la salvedad de que el ángulo polar queda determinado salvo múltiplos enteros de 2π. Así, conocidas las coordenadas polares de un punto P = (r, θ) se calculan sus coordenadas cartesianas, P = (x, y) como x = r cos θ, y = r sen θ. Al contrario, si son conocidas las coordenadas cartesianas del punto P = (x, y) entonces suscoordenadas polares P = (r, θ) se calculan como: p x2 + y 2 , r = ³y ´ θ = arctan , x

tomando en cada caso la rama de la arcotangente en [0, 2π] de forma que su coseno tenga el mismo signo que la coordenada x (o su seno el mismo signo que la coordenada y). Para el caso del origen O la representación del ángulo es cualquiera, luego bastará con que el radio sea cero para que quede determinado. Curva encoordenadas polares. Una curva en coordenadas polares es la gráfica de una función de la forma r = r (θ) con θ ∈ I (I un intervalo cualquiera), es decir donde se interpreta la variable independiente como el ángulo polar de los puntos y la variable dependiente como el radio polar de los mismos. Esto es, la curva es

el conjunto {(r (θ) , θ) : θ ∈ I} con (r (θ) , θ) coordenadas polares de puntosdel plano. Papel polar. La situación de los puntos en el plano polar depende del ángulo y el radio polar, por ello interesa el uso, como marcas de localización o mallado, de las curvas en coordenadas polares más sencillas. La curva de ecuación r = r0 es la circunferencia de centro el origen O y radio r0 . La curva de ecuación θ = θ0 es la semirecta que parte del origen O formando un ángulo de θ0radianes con el semieje polar. Simetrías en coordenadas polares. El estudio de las simetrías respecto de los ejes cartesianos y respecto del origen cuando la curva viene descrita en coordenadas polares, r = r (θ) , se realiza de la siguiente forma: 1. Simetría respecto del eje OX. La curva en polares definida por r = r (θ) es simétrica respecto del eje OX si se verifica para todo θ del dominio de lafunción que r (−θ) = r (θ) . 2. Simetría respecto del eje OY. La curva en polares definida por r = r (θ) es simétrica respecto del eje OY si se verifica para todo θ del dominio de la función que r (π − θ) = r (θ) . 3. Simetría respecto del origen O. La curva en polares definida por r = r (θ) es simétrica respecto del origen O si se verifica para todo θ del dominio de la función que r (π + θ) = r (θ) .Recta tangente en coordenadas polares. Sea una curva en coordenadas polares definida por la función r = r (θ) para θ ∈ (α, β) . Si r es derivable en θ0 ∈ (α, β) entonces la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (r (θ0 ) , θ0 ) es r0 (θ0 ) sen θ0 + r (θ0 ) cos θ0 . m (θ0 ) = 0 r (θ0 ) cos θ0 − r (θ0 ) sen θ0 En particular, para calcular los puntos donde las rectas tangentes sonhorizontales se plantean las siguientes condiciones r0 (θ) sen θ + r (θ) cos θ = 0 r0 (θ) cos θ − r (θ) sen θ 6= 0. O bien, para que las rectas tangentes sean verticales estas otras condiciones r0 (θ) sen θ + r (θ) cos θ 6= 0 r0 (θ) cos θ − r (θ) sen θ = 0. 2

Los puntos donde r0 (θ) sen θ + r (θ) cos θ = r0 (θ) cos θ − r (θ) sen θ = 0 producen una indeterminación en la fórmula anterior de la...