calculo

Los autovalores están presentes en muchas cuestiones de orden práctico. Así por ejemplo, el régimen de enfriamiento de un sólido homogéneo es proporcional al autovalor de módulo más pequeño del
operador Laplaciano en la región dada por el volumen de dicho sólido, o la frecuencia principal de vibración de una estructura o de un
sólido cualquiera viene dada por la raíz cuadrada del autovalor demódulo más pequeño del operador de Navier en la región ocupada por el sólido o estructura. El primer autovalor del operador de
Stokes da en ocasiones idea de para qué numero de Reynolds se
desestabiliza el ujo básico de un uido. Los autovalores de estos
operadores se aproximan en la práctica mediante los autovalores de
matrices adecuadas. Estudiamos en esta lección el cálculo de losautovalores de una matriz.
Índice
1. CUESTIONES DE REPASO 1
2. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EL CÁLCULO DE AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 4
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. El método de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. El método de la potencia inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 9
2.4. La iteración QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. CUESTIONES RELACIONADAS 17
3.1. Localización de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Matrices no diagonalizables y matrices fuertemente no normales . . . . . . . . . . . 18
4. CUESTIONES Y PROBLEMAS 20
1. CUESTIONES DEREPASO
Recuerde que un autovalor de una matriz A cuadrada es un escalar ¸ para el cual existe un
vector no nulo v de modo que
Av = ¸v
Dado un autovalor ¸ de una matriz A, todos los vectores v que verican la relación anterior reciben el
nombre de autovectores de A asociados al autovalor ¸. Asociados a un autovalor dado, hay innitos
autovectores (todos aquéllos proporcionales a uno dado nonulo).
Dado que si ¸ es autovalor, debe haber un autovector v no nulo, éste debe ser solución no nula
del sistema homogéneo
(¸ I ¡ A)v = 0;
y por tanto es obligado que det(¸I ¡ A) = 0 (en otro caso la única solución del sistema anterior
sería la nula y ¸ no sería autovalor). Los autovalores de una matriz A son entonces las raíces de su
polinomio característico,
pA(x) = det(xI ¡ A)
Eso aseguraque el número de autovalores de A distintos es a los sumo es grado de pA(x) ( m
si A es m £ m). Si pA(x) tiene raíces multiples, el número de autovalores distintos es estrictamente
menor que m. La multiplicidad de cada raíz de pA se conoce como multiplicidad (algebraica) del
autovalor correspondiente. Un procedimiento para calcular los autovalores de una matriz es resolver
la ecuación
pA(x) =0;
aunque en la práctica sólo es útil para matrices 2 £ 2.
Una matriz A de dimensiones m £ m se dice que es diagonalizable si hay una base de R
m (o
de C
m) formada por autovectores de A. Es término "diagonalizable"proviene de que si v1; : : : ; vm
forman una base de R
m y
Avj = ¸jvj
; j = 1; : : : ; m
la matriz m £ m
V = [v1; : : : ; vm];
cuyas columnas son los vectores v1; : : : ;vm, satisface que
AV = V D (o V
¡1AV = D);
donde D es la matriz diagonal
D =
2
6
6
6
6
6
4
¸1 0 0 : : : 0
0 ¸2 0 : : : 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 : : : 0 ¸m¡1 0
0 : : : 0 0 ¸m
3
7
7
7
7
7
5
:
ya que
AV = A[v1; : : : ; vm] = [Av1; : : : ; Avm] = [¸1v1; : : : ; ¸vm] = V D:
Otra manera de decir que A es diagonalizable es decir que A es semejante a unamatriz diagonal. Recuerde que dos matrices A y B son semejantes si existe una matriz U invertible de modo
que A = UBU¡1
, y que dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico (los
mismos autovalores con la misma multiplicidad, por tanto) aunque no necesariamente los mismos
autovectores.
2Los autovectores de una matriz A asociados a autovalores distintos son linealmente...