Calculo

CÁLCULO VECTORIAL SERIE 1
Página 1

1) Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la función f ( x, y ) = x 2 y 2 − x 2 − y 2 .
SOLUCIÓN

P ( 0, 0 ) máximo relativo, P2 ( 1, 1) punto silla, P3 ( 1, − 1) punto silla, P4 ( − 1, 1) punto 1

silla, P5 ( − 1, − 1) punto silla.

2)

Determinar la naturaleza de f ( x, y ) = 2x 3 − 3 x 2 y + y 2 + 3 x 2 − y + 1 .

los

puntoscríticos

de

la

función

SOLUCIÓN

⎛ 1⎞ ⎛ 1 2⎞ P ⎜ 0, ⎟ mínimo relativo, P2 ⎜ − , ⎟ punto silla, P3 ( 1, 2 ) punto silla. 1 ⎝ 2⎠ ⎝ 3 3⎠

3)

Determinar la naturaleza f ( x, y )= x 3 + y 3 + 3 x 2 − 3 y 2 − 8 .

de

los

puntos

críticos

de

la

función

SOLUCIÓN

P ( 0, 0 ) punto silla, P2 ( 0, 2 ) mínimo relativo, P3 ( − 2, 0 ) máximo relativo, P4 ( − 2, 2 1

)punto silla.

4) Determinar los valores extremos de la función f ( x, y ) = x 2 + y 2 - x 3 + y 3 .
SOLUCIÓN

2 ⎞ ⎛ 2 Un mínimo relativo en P ( 0, 0 ) de valor , un máximo relativo en P4 ⎜ , − ⎟ de valor 1 3 ⎠ ⎝ 3 8 z= . 27

5) Determinar los puntos donde la función f ( x, y ) = cos hx + sen hy tiene valores
máximos, mínimos o puntos silla.

CÁLCULO VECTORIAL SERIE 1
Página 2SOLUCIÓN

La función no tiene puntos críticos.

6) Obtener los puntos críticos de la función f ( x, y ) = y 3 + x 2 y − 2x 2 − 2 y 2 + 6

1 3 determinar la naturaleza de cada uno de los puntos obtenidos.

y

SOLUCIÓN

P ( 0, 0 ) máximo relativo, P2 ( 0, 4 ) mínimo relativo, P3 ( 2, 2 ) punto silla, P4 ( − 2, 2 1

)

punto silla.

7) Se desea construir un ducto desde el punto P , hastael punto S , los costos por cada
Km de ducto son: de 3 k en el tramo PQ , 2k en el tramo QR , y de k en el tramo RS . Determinar las dimensiones de X y Y para que el costo del ducto sea mínimo.

SOLUCIÓN

X=

1 2

y Y=

1 3

8) Calcular los valores extremos de la función f ( x, y ) = x 2 + y 2 + 2x - 2y - 1 en la región
x2 + y 2 ≤ 4 .
SOLUCIÓN

Los valores extremos son: f ( -1,1)= −3 mínimo y

f

(

2 ,- 2 = 8.65 máximo.

)

CÁLCULO VECTORIAL SERIE 1
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9) Determinar las coordenadas del punto P ( x, y, z ) que pertenece a la superficie
S : x 2 + y 2 + z + 1 = 0 y que es el más cercano al origen.
SOLUCIÓN

El punto ( 0, 0, −1) es el más cercano (distancia mínima) al origen.

10) Dada la función f ( x, y ) = 2x 3 + xy 2 + 5 x 2 + y 2 , determinarsus puntos críticos y la
naturaleza de cada uno de ellos.
SOLUCIÓN

P ( 0, 0 ) 1 P4 (

⎛ 5 ⎞ mínimo relativo, P2 ⎜ − , 0 ⎟ máximo relativo, P3 ( − 1, 2 ) punto silla, ⎝ 3 ⎠ − 1, − 2 ) punto silla.

11) Determinar, si existen los valores extremos para la función f ( x, y ) = (x - 1)2 - 2y 2 .
SOLUCIÓN

La función no tiene valores extremos.

12) Obtener los puntos críticos de lafunción f (x, y,z)= 4x 3 + 2x 2 y +6xz + 3z 2 - 2y + x 2 y
establecer su naturaleza.
SOLUCIÓN

P (1, −2, −1) punto silla, P2 ( − 1, 4, 1 ) punto silla. 1

13) Determinar los puntos críticos de la función f (x, y,z)= 3xz 2 + zy 3 - 3x+12y - 2z + 2 y
establecer su naturaleza.
SOLUCIÓN

⎛ 5 ⎞ P (1, 2, −1) punto silla, P2 ⎜ − , − 2, − 1 ⎟ punto silla. 1 ⎝ 3 ⎠

CÁLCULO VECTORIAL SERIE 1
Página 414)

Determinar la naturaleza de f (x, y,z)= x 2 + 4xy - 10x - 3y 2 + 4y + z 2 .

los

puntos

críticos

de

la

función

SOLUCIÓN

P ( 1, 2, 0 ) mínimo relativo.

15) Obtener los puntos críticos de la función f (x, y,z)= x 2 + 2xy +
establecer la naturaleza de cada uno de ellos.
SOLUCIÓN

z3 + 2zy + 2x + 2z - 10 y 3

P ( 0, −1, 0 ) punto silla, P2 ( 2, − 3, − 2 )punto silla. 1

Determinar los puntos críticos de la función 2 2 2 f (x, y,z)= -2x - 3y - z + xy + yz + x + y + z +10 y establecer la naturaleza de cada uno de ellos.
SOLUCIÓN

16)

⎛1 1 2⎞ ⎜ , , ⎟ máximo relativo. ⎝3 3 3⎠

17) Obtener los puntos críticos de la función f (x, y,z)=
determinar la naturaleza de los mismos.
SOLUCIÓN

x3 - x+12 - y 2 + 2y - z 2 + 2z y 3

P ( 1, 1, 1 )...