Calculo

Notas del curson“An´lisis de Sistemas No Lineales”
a

Javier Aracil Sant´nja
o
Francisco Salas G´mez
o
´
Francisco Gordillo Alvarez

Departamento de Ingenier´ de Sistemas y Autom´tica
ıa
a
Universidad de Sevilla

ii

Notas del curso “An´lisis de Sistemas no
a
Lineales”

Impartido por:
Javier Aracil
Francisco Gordillo
Francisco Salas

25 de septiembre de 2007

2´
Indice general

1. Introducci´n
o

1

1.1. El problema del control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. EL control lineal es local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1. Control Lineal y no Lineal - Estabilidad en Sistemas de Control

I

1

5

An´lisis
a

6

2. An´lisis cualitativo de sistemas din´micos
a
a

7

2.1.Formalizaci´n del concepto de sistema din´mico . . . . . . . . . . . . .
o
a

7

2.2. Crecimiento log´
ıstico o acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.1. Retrato de estados de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . .

11

2.3. Sistemas Din´micos Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

12

2.3.1. Sistemas din´micos aut´nomos lineales dedimensi´n dos . . . .
a
o
o

15

2.3.2. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4. Sistemas din´micos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

22

2.5. Propiedades de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3

´
INDICE GENERAL

4

2.5.1. Existencia y unicidad de las soluciones . . . . . .. . . . . . . .

23

2.5.2. Flujo definido por un sistema din´mico . . . . . . . . . . . . . .
a

24

2.5.3. Sistema din´mico como flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

25

2.5.4. Orbitas y retratos de estados

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.5.6. Linealizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
o

28

2.5.7. Linealizaci´n de un sistema din´mico en IRn . . . . . . . . . . .
o
a

30

2.5.8. Equivalencia topol´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

31

2.5.9. Conjuntos l´
ımite y equilibrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.6. Ciclos y atractores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.6.1.Conjuntos l´
ımite y atractores . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.6.2. Comportamiento a largo plazo de las trayectorias . . . . . . . .

38

2.6.3. Estudio de orbitas peri´dicas
´
o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.6.4. Atractores extra˜os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n

42

2.5.5. Puntos de equilibrio

3. An´lisis cualitativo ybifurcaciones en sistemas din´micos
a
a

44

3.1. An´lisis cualitativo de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . .
a

44

3.2. An´lisis cualitativo de sistemas din´micos de dimensi´n 1 . . . . . . . .
a
a
o

44

3.2.1. Estabilidad estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.3. Familias de sistemas din´micos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
a

49

3.3.1. Diagramas de bifurcaciones en sistemas no lineales . . . . . . . .

52

´
INDICE GENERAL

5

3.4. Bifurcaciones elementales en sistemas de dimensi´n uno . . . . . . . . .
o

52

3.4.1. Bifurcaciones elementales en sistemas din´micos de dimensi´n dos 62
a
o
3.4.2. Evoluci´n de los autovalores en una bifurcaci´n de Hopf. . . . .
o
o

67

3.4.3.Bifurcaciones de orbitas peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . . .
´
o

67

3.4.4. Bifurcaciones de codimensi´n dos . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

69

3.4.5. Diagrama de bifurcaciones del experimento de Taylor-Couette. .

73

3.5. Crecimiento log´
ıstico con un retraso en la estructura . . . . . . . . . . .

76

References

81

3.6. Ap´ndice . . . . . . . . . . . . . . . ....