calculo




SESIÓN SEIS.Derivada de las funciones exponencial y logarítmica. Ejercicios.

Propósitos.
Construir gráfica y tabular de las derivadas de las funciones exponencial y logarítmica.
Obtener la Derivada de las funciones: , , y
Obtener la Derivada de las funciones: ,, ,

Aprendizajes.
Analizará las gráficas de las funciones logarítmica y exponencial y a partir de ellas bosquejarálas gráficas de sus derivadas.

Identificará en cada caso la derivada respectiva de las funciones logarítmica y exponencial.

Determinará la derivada de la función exponencial a partir de la definición de derivada de una función.

Actividades.
Determinar la derivada de la función exponencial con la definición de la derivada de una función.
Graduando la dificultad, ejercicios diversos decálculo de derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales, cuyo argumento sea a su vez función de x.


Actividad de aprendizaje 6.1

Construcción gráfica de la derivada de la función Exponencial a partir de su gráfica.

Retomando el significado geométrico de la derivada de una función en un punto como la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto, se construirá la gráficade la derivada de la función Exponencial.

Abre el archivo DerivadaExp1 e identifica los elementos mostrados. La Figura 6.1 muestra un escenario como el que encontrarás al trabajar el archivo,donde mT es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de exp(x) en el punto P1.



Figura 6.1


Mueve el punto x1 para obtener los valores que se tienen en la Tabla 6.1, complétala y construyesu gráfica en la Figura 6.1.

Tabla 6.1

x1
mT
-4.0
0.02
-3.5
0.03
-3.0
0.05
-2.5
0.08
-2.0
0.14
-1.5
0.22
-1.0
0.37
-0.5
0.61
0.0
1
0.5
1.65
1.0
2.7
1.5
4.48
2.0
7.39
2.5
12.1



Figura 6.2


a)¿Qué tipo de grafica obtuviste de mT vs. x?
una hipérbole que tiende a infinito

b) ¿Qué observas con relación al valor de la pendiente de la recta tangente a lagráfica en el punto P1 y las coordenadas de este punto?las cordenadas del punto corresponden con el exponencial de la funcion
Coloca el punto P1 a otras posiciones moviendo el punto x1.
c) ¿Se confirma tu observación?si

Esta es una característica importante de la función exponencial.

Ahora se observará dinámicamente estos aspectos.

Abre el archivo DerivadaExp2 e identifica loselementos mostrados. La Figura 6.3 muestra un escenario como el que encontrarás al trabajar el archivo.


Figura 6.3

El escenario del archivo muestra la recta tangente a la gráfica de exponencial en el punto P1. El punto PT tiene como abscisa el ángulo y como ordenada la pendiente de la recta tangente mT en el punto P1 de la gráfica de f(x)=exp(x).

Sigue las instrucciones.

1. Activa elpunto x1 y mantén oprimida la tecla +. Observa el punto PT.
2. Da un clic en el punto PT con el botón derecho del ratón y selecciona la opción Activa Rastro.
3. Activa nuevamente el punto x1 y mantén oprimida la tecla +. Observa lo que sucede.
4. Da un clic en el punto PT con botón derecho del ratón y desactiva Activa Rastro. Observa la gráfica que se va produciendo con los valores de lapendiente de la recta tangente mT, (la derivada de la función exponencial). Repite las veces que sea necesario el procedimiento.

d) ¿Cuál es la función que se produce con los valores de la pendiente de la recta tangente mT (la derivada de la función exponencial con los puntos PT)?
exp(x)

Mueve el punto del deslizador Desplazamiento para obtener el valor cero.

Por tanto, se puedeconcluir de manera gráfica que:
f) La derivada de la funciónexponencial f(x)=exes la funcióne^x


Actividad de aprendizaje 6.2

Derivada de la función Exponencial con la definición de derivada

La función exponencial exp(x) se denota también como ex. Esta notación es la que utilizamos en lo siguiente.
Para determinar la derivada de la función exponencial con la definición de derivada se...