Calculo

Sustitución trigonométrica
En la determinación del área de un círculo o una elipse surge una integral de forma
Donde a>0. Si fuese , la situación u=pero tal y como parece es más difícil.Si se cambia la variable de x a por la sustitución x= sen en tal caso la identidad 1-sen^2=cos^2 permite eliminar el signo de la raíz porque

Hay que observar la diferencia entrela sustitución u=a^2-x^2 y la sustitución x=asen.
En general se puede hacer sustitución de la forma x=g(t) al usar al revés la regla de sustitución. A fin de simplificar los cálculos, se suponeque g tiene una función inversa; es decir; g es uno a uno. En este caso se remplazan u por x y x por t en la regla de sustitución se obtiene:Fracciones parciales
Con esto podemos saber cómo integrar cualquier función racionalexpresandola como una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones parciales, que yasabe como integrar. Para ilustrar el método, observe que tomando las fracciones 2/(x-1) y 1/(x+2) para un denominador común se obtiene

Para ver cómofunciona en general el método de fracciones parciales, considere una función racional

Donde P y Q son polinomios. Es posibleexpresar f como una suma de fracciones mas simples, siempre que el grado P sea menor que el grado Q. esta clase de función racional se llama propia. Recuerda que siDonde , por lo tanto el grado de P es n y se escribe gra(P)=n

Integración numerica

Regla del rectángulo

Regal del punto medio

Regla del trapecio

Integralesimpropias
El concepto de integral se extiende de manera casi espontánea a situaciones más generales que las que hemos examinado hasta ahora. Consideremos, por ejemplo, la función no acotada...