Calculo

Cálculo de variaciones
Programa de Posgrado FISYMAT

Antonio Cañada Villar
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

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CALCULO DE VARIACIONES. PROGRAMA DE
POSGRADO FISYMAT, UNIVERSIDAD DE GRANADA
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CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10

En las notas que siguen se recogen de manera esquem´tica algunas de las
a
ideas fundamentales que se explicanen el curso “C´lculo de Variaciones y
a
Optimizaci´n”, del programa de posgrado Fisymat. Estas notas est´n en
o
a
constante proceso de elaboraci´n. Espero que cada alumno encuentre algo
o
de utilidad en ellas.

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1. Introduccion, motivacion y notas historicas: del problema
de la braquistocrona a la teor´ de puntos cr´
ıa
ıticos.
1.1. Recomendaciones bibliogr´ficas.
a
Losproblemas de m´ximos y m´
a
ınimos constituyeron la motivaci´n fundao
mental para la creaci´n del C´lculo Diferencial e Integral a finales del siglo
o
a
XVII. El origen del C´lculo Diferencial e Integral se atribuye fundamentala
mente a Newton y Leibniz.
El significativo trabajo de Leibniz titulado “Nova methodus pro maximis
et minimis itemque tangentibus” que puede considerarse como elnacimiento
formal del C´lculo, se public´ en 1684 y las palabras con las que Leibniz
a
o
describe el t´
ıtulo de esta obra nos dan una idea muy precisa del contenido:
nuevo m´todo para el estudio de m´ximos y m´
e
a
ınimos de funciones usando la
noci´n de tangente. En este tratado se proporciona un m´todo muy preciso
o
e
para el c´lculo de m´ximos y m´
a
a
ınimos de funciones concretasque surgen
en las aplicaciones m´s diversas. Dicho m´todo usa la noci´n de derivada,
a
e
o
punto cr´
ıtico, derivadas de orden superior, etc.
Un buen resumen de la evoluci´n hist´rica del c´lculo de variaciones se
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o
a
puede ver en los siguientes art´
ıculos:
Erwin Kreyszig: On the Calculus of Variations and Its Major Influences
on the Mathematics of the First Half of Our Century. PartI. American
Mathematical Monthly, volumen 101, no. 7, 674-678, (1994).
Erwin Kreyszig: On the Calculus of Variations and Its Major Influences
on the Mathematics of the First Half of Our Century. Part II. American
Mathematical Monthly, volumen 101, no. 9, 902-908, (1994).
La introducci´n del libro de texto recomendado [3] ofrece informaci´n
o
o
hist´rica de inter´s.
o
e
1

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˜CALCULO DE VARIACIONES, ANTONIO CANADA, CURSO 2009/10

Por cierto, la revista mencionada, American Mathematical Monthly, es
muy recomendable para los alumnos de los ultimos cursos de la licencia´
tura en Matem´ticas. Tiene secciones muy diversas: art´
a
ıculos, problemas,
rese˜as de libros, etc. El nivel es, en general, asequible. Os animo a que la
n
consult´is habitualmente.
e
Comoveremos a continuaci´n, los problemas que trata el c´lculo de vao
a
riaciones se formularon inemdiatamente despu´s del nacimiento del C´lculo.
e
a
1.2. Algunos problemas significativos del C´lculo de Variaciones. .
a
Seg´n M. Kline ([10]) el primer problema significativo del C´lculo de
u
a
Variaciones fue propuesto y resuelto por Newton en el libro II de sus “Principia”. Estudiando la formaque deb´ tener una superficie de revoluci´n,
ıa
o
movi´ndose en el agua (o cualquier otro fluido) a velocidad constante a lo
e
largo de su eje para ofrecer una resistencia m´
ınima al movimiento, se plante´
o
el estudio de m´
ınimos de funcionales de la forma
b

(1.1)

Φ(y ) =
a

y (x)(y (x))3
1 + (y (x))2

donde la funci´n y (x) pertenece a un espacio apropiado de funciones declase
o
C 1 [a, b]. Por ejemplo, podemos pensar que y (·) ∈ Y, donde
Y = {y : [a, b] → R : y ∈ C 1 [a, b], y (a) = y1 , y (b) = y2 }
donde (a, y1 ), (b, y2 ) son dados.
Ya apreciamos la primera diferencia fundamental respecto de los problemas de m´ximos y m´
a
ınimos estudiados por el alumno en la licenciatura:
en (1.1) la “variable independiente” y (x) pertenece a un conjunto adecuado
de...