Calculo

MOISÉS VILLENA MUÑOZ

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3
3.1 3.2 3.1 3.3
INTRODUCCIÓN. SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE PRIMER ORDEN. ANÁLISIS CUALITATIVO PARA LA ESTABILIDAD DINÁMICA

3.4 APLICACIONES

OBJETIVOS: • Encontrar soluciones de Ecuaciones en Diferenciales de primer orden • Determinar Estabilidad dinámica cuantitativa y/o cualitativamente deecuaciones en diferencias. • Encontrar soluciones para modelos de Telarañas y problemas de inventarios.

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3.1 INTRODUCCIÓN
Hasta aquí y = y (t ) se había definido para tiempo continuo, es decir t ∈ . La dy denota el cambio instantáneo de la función y con respecto a su derivada dt variable t . Supongamos ahora que y estádefinida para t ∈ y t . Se la suele denominar función discreta. o t = 0 . Se la denota como

Los cambios en los valores de la función yt se producen en intervalos Δt = 1 . Es decir, la función ahora tendrá valor y 0 , y1 , y 2 , … Podremos decir que: Δy 0 = y1 − y 0 Δy1 = y 2 − y1 Δy t = y t +1 − y t
Fig. 3.1

Una diferencia de primer orden se define como el cambio de la función en un intervalode tiempo. Es decir

Δyt = yt +1 − yt , y como Δt = 1 quedaría: Δt Δy t = y t +1 − y t

Una Ecuación en diferencia de primer orden con coeficientes constantes y término constante es de la forma:

a yt +1 + b yt = c ; a ≠ 0

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3.2

SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE PRIMER ORDEN

Para encontrar lasolución de una ecuación en diferencia de primer orden, disponemos de dos métodos. 3.2.1 MÉTODO ITERATIVO Consiste en obtener algunos términos de y t desde la ecuación en diferencia dada hasta poder deducir su regla de correspondencia Ejemplo 1
Sea y t +1 − y t = 2 . Hallar y graficar yt SOLUCIÓN:
Al despejar tenemos: y t +1 = y t + 2 . Ahora evaluamos desde el inicio hasta cuando se pueda deducirla solución.

t = 0 → y1 = y 0 + 2

t = 1 → y 2 = y1 + 2 = ( y 0 + 2)+ 2 = y 0 + 4 = y 0 + 2(2)
t = 2 → y3 = y 2 + 2 = ( y 0 + 4) + 2 = y 0 + 6 = y 0 + 2(3) t = 3 → y 4 = y 3 + 2 = ( y 0 + 6) + 2 = y 0 + 8 = y 0 + 2(4) t = 4 → y5 = y 0 + 2(5)
Entonces:

y

1

yt = y 0 + 2t
La gráfica de yt sería:

Note que

Δy t =2 Δt

Fig. 3.2

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Ejemplo 2
Sea. y t +1 = 0.9 y t Hallar y graficar yt SOLUCIÓN:
Análogamente al ejemplo anterior. Obtenemos algunos valores para la función hasta poder deducirla

y1 = 0.9 y 0 y 2 = 0.9 y1 ≡ (0.9) 2 y 0 y3 = 0.9 y 2 ≡ (0.9) 3 y 0 y 4 = 0.9 y 3 ≡ (0.9) 4 y 0 yt = (0.9) t y 0
La gráfica de yt sería

Fig. 3.3

Note que sería una trayectoria convergente, debidoa que

y ∞ = (0.9) ∞ y 0 = 0

3.2.2 MÉTODO GENERAL

a yt +1 + b yt = c

Sea trata aquí de definir una solución yt

para la ecuación en diferencia

La solución general será la combinación lineal de una C P complementaria con una solución particular; es decir yt = yt + yt . La solución complementaria

solución

ytC satisface la ecuación homogénea aytC 1 + bytC = 0 y es de la formaytC = k (r ) t . Donde k es la constante que da la + generalidad de la solución y r es el valor a determinar.
Como yt = k (r ) , entonces yt +1 = k ( r )
C t C t +1

= kr t r .

Ahora reemplazamos:

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akr t r + bkr t = 0 kr t (ar + b ) = 0
La última expresión, nos da la ecuación auxiliar ar + b = 0 , quepermite encontrar el valor de " r ". Es decir:

r=−
Por lo tanto:

b a

⎛ b⎞ y = k⎜ − ⎟ ⎝ a⎠
C t P

t

Ahora corresponde determinar la solución particular yt . Para este caso, será de la forma yt = A ¿POR QUÉ? Para determinar el valor de la constate A , hacemos lo siguiente: La solución particular satisface la ecuación no homogénea ayt +1 + byt = c
P P

P

Como yt = A entonces yt...