Calculo

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR
PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
SIMÓN RODRÍGUEZ
NUCLEO: CARICUAO
CURSO: CALCULO
SECCIÒN: “A”

















Caracas, Noviembre 2013
Derivadas
En matemáticas, la derivada de una función es una medidade la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor dela derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximaciónlineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de unafunción se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.

Ejercicios de Derivadas:





Derivadas Parciales
En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto auna de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:


Donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud es función de diversasvariables (,,,), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija.Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.
Ejemplos:
Considera el volumen V de un cono, este depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula


Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:


Otro ejemplo, dada la función tal que:

La derivada parcial de respecto de es:Mientras que con respecto de es:

Resolver la siguiente ecuación diferencial:

Y encontrar la solución particular tal que:

El resultado sería:
Para resolver el problema escribimos:

Para la solución de la ecuación homogénea tenemos:

Para obtener una solución particular de la completa, tendremos que hacer:

Y para la ecuación resultante:

Y a partir de ahí:

Con lo que, finalmentehacemos:

Para encontrar la solución particular que verifique la condición del enunciado, hacemos:

Con lo que finalmente resultará ser:

Definición formal
Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rn y f : U → R una función. Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a1,..., an) ∈ U con respecto a la...