Calculo

Introducción
Dada las sucesiones:
1 1 1
{ 1, , , , ... } y { 1, 2, 4, 8, ... }
2 4 8
nos proponemos encontrar, si existe, el valor de
la suma de "todos " sus elementos en cada una
de ellas.

Series de
números reales
1

1 1 1
, , , ... } supongamos que existe dicha
2 4 8
suma, y que la representamos con S, entonces
1 1 1
S 1     ...
2 4 8
puesto que
1 1 1
§ 1 ·§
1 1 1
·1     ... = 1  ¨ ¸¨ 1     ... ¸
¨ ¸¨
¸
2 4 8
© 2 ¹©
2 4 8
¹
entonces
§1·
S 1  ¨ ¸( S )
¨ ¸
©2¹
de donde
S 2

(a)

Para la sucesión { 1,

2

Notas.Debemos observar que este resultado se ha
obtenido con el supuesto que el valor de la
suma existe en IR.

3

4

(b)

Repitiendo el mismo razonamiento en la sucesión
{ 1, 2, 4, 8, ... } se tiene que
S 1  2 4  8  ...
y como
1  2  4  8  ... = 1  2( 1  2  4  8  ... )
entonces
S 12S
de donde
S 1

Notas
En este último razonamiento nuevamente hemos supuesto
la existencia de la suma y hemos obtenido un resultado
que evidentemente es absurdo: se han sumado solo
números positivos por lo que es natural obtener por suma
un número positivo.

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Comentario
Estos ejemplos ponen demanifiesto la
necesidad de conocer de antemano cuando una
suma de "infinitos" sumandos reales existe
en IR (es un número finito) y como podemos
manipularlo. Esta inquietud es respondida con
la teoría de series infinitas.

6

Definición de serie Infinita
Dada una sucesión de números reales { a }, llamaremos
n
serie infinita generada por { a }, o simplemente serie,
n
a la sucesión { S}, donde
n
S
a  a  ..  a
n
1
2
n
n
¦ a
k 1 k
7

8

Notas:

Ejemplo

f
x La serie generada por { an } se representa por ¦ a .
k 1 k

n
§1·
Consideremos la sucesión { ¨ ¸ }, n H IN .
¨ ¸
©2¹
Se sabe que
(n  1)
r
r
1
S
, con r

n 1r
1r
2
k
n
f §1·
§1·
Luego, la serie ¦ ¨ ¸ corresponde a la sucesión {1  ¨ ¸ }.
¨ ¸
¨ ¸
©2¹
k 1©2¹

x Los elementosS se denominan sumas parciales de la
n

serie.

x Los elementos a se denominan término general de la
n

serie.

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NOTAS:

Se dice que la serie es convergente si lo es la sucesión de sus
sumas parciales.
f
En tal caso, la suma S de la serie ¦ a se define mediante la
k 1 k
igualdad S
lim S , si el límite existe.
n
nof

Se escribe,

S

10

1. Se dice que la serie

f¦ a
k 1 k

es divergente si lo es la

sucesión de las sumas parciales.

2. En general, se suele denotar con el mismo símbolo,
f
¦ a , a la serie y al valor de su suma.
k 1 k

f
¦ a
k 1 k

11

12

Ejemplo

3. La definición proporciona una método para analizar
una serie (es decir, una suma de infinitos sumandos) y
consiste en identificar la sucesión de sumas parcialesmediante una expresión cerrada del término general y
calcular el límite cuando existe.

f

Dada la serie

¦ 2 , decidir si es o no
k

k

k

1

convergente, en caso afirmativo encontrar el valor
de la suma.

4. El caracter (convergente o divergente) de una serie no
varía si se modifican un número finito de sumandos.
Nótese que el valor de la suma si se verá modificado

13Consideramos la sucesión de las sumas parciales
n k
¦
.
S( n )
k
k 12
Se prueba, usando inducción, que para todo n:
(n  1)
(n  1)
§1·
§1·
S( n ) 2 ( n  1 ) ¨ ¸
2¨ ¸
2
¨ ¸
¨ ¸
©2¹
©2¹
y como lim S( n ) 2 podemos afirmar que la serie es convergente y
nof
que su suma 2 .
Esto es
f k
¦
2.
k 1 2k

14

Ejercicios
Usando la definición decidir la de convergencia de cadauna de las siguientes series
k
n
n
1
2 1
b) ¦
a) ¦
k (k  2)
k 1 2( k  1 )
k 1

15

16

Serie Aritmética
Se denomina serie aritmética de diferencia común
d y término inicial a0 a la serie de la forma
f

Algunas Series
Importantes

¦a

n

n

1

donde
an= a0  ( n  1 ) d

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18

Series geométricas
Se denomina serie geométrica de razón r a una serie de la...