Calculo

Tarea 1 problemas de calculo
Julio Bola¨¿ 1 os ı 2 5 de Mayo 2012
1.) Gradiente y derivada direccional Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado: a)f (x; y) = xy , (x0 ; y0 ) = (e; e), d = 5i + 12j b)f (x; y) = exy + yz, (x0 ; y0 ; z0 ) = (1; 1; 1), d = (1; −1; 1) Soluc¨¿ 2on ı 1 a) Recordando que Du f (x0 ) = unitario en la direcci¨¿ 1 n dada. ı 2 f (x0 ) • U, debemos hallar el gradiente de la funci¨¿ 1 n y un vector ı 2

f (x; y) = = ∂ y log x ∂ y log x e ; e ∂x ∂y

∂ log x y ∂ log x y ∂ y ∂ y x ; x = (e ) ; (e ) ∂x ∂y ∂x ∂y y y log x y y = e ; (log x)ey log x = x ; (log x)xy x x ⇒ f (e; e) = (ee ; ee ) (5; 12) d =√ = d 52 + 122 f (e; e) · u = (ee ; ee ) 5 12; 13 13 5 12 ; 13 13 = 17 e e 13

u= Du f (e; e) = b) En este caso tendremos:

f (x; y; z) =

∂ x ∂ x ∂ x (e + yz) ; (e + yz) ; (e + yz) ∂x ∂y ∂z (1; −1; 1) 12 + (−12 ) + 12

= (ex ; z; y) ⇒

f (1; 1; 1) = (e; 1; 1)

u=

d = d

=

1 −1 1 √ ;√ ;√ 3 3 3

e =√ 3 e =√ 3

Du f (1; 1; 1) =

f (1; 1; 1) · u = (e; 1; 1) ·

1 −1 1 √ ;√ ;√ 3 3 3

1

˜ 2.) Suponer que unamontana tiene forma de un paraboloide el¨¿ 2 ptico z = c − ax2 − by 2 , donde ı 1 a, b y c son constantes positivas, x y y son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y z es la altitud sobre ı 1 ı 2 el nivel del mar (x, y y z est¨¿ 1 n medidas en metros). En el punto (1; 1), ¿en qu¨¿ 2 direcci¨¿ 1 n aumenı 2 1 1 1 ı ı ı 1 ı 2 ta m¨¿ 2 s r¨¿ 2 pido la altitud? Si se suelta una canica en (1; 1), ¿ enqu¨¿ 2 direcci¨¿ 2 n comenzar¨¿ 1 a ı rodar? Soluci¨¿ 1 n ı 2 Una funci¨¿ 1 n aumenta m¨¿ 2 s r¨¿ 2 pidamente en la direcci¨¿ 1 n del vector gradiente, y disminuye ı 2 ı 1 ı 1 ı 2 1 1 ı ı 2 m¨¿ 2 s r¨¿ 2 pidamente en la direcci¨¿ 1 n opuesta al mismo. En nuestro caso: ı

f (x; y) = (−2ax; −2by) ⇒

f (1; 1) = (−2a; −2b) ⇒ u =

f (1; 1) = f (1; 1)

√

−a −b ;√ a2 + b2 a2 + b2

m¨¿ 1 s ı 2¨¿ 2 sa es la direcci¨¿ 2 n de m¨¿ 1 ximo crecimiento. La canica rodar¨¿ 1 en la direcci¨¿ 2 n en la cual ı 1 ı 1 ı 2 ı 2 ı 1 1 1 r¨¿ 2 pidamente disminuya la altura, es decir, la opuesta a la reci¨¿ 2 n hallada: ı ı
√ a ; √a2b+b2 a2 +b2

M¨¿ 1 ximo decrecimiento ⇒ u = ı 2

3.) El capit¨¿ 2 n Ralph tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del ı 1 2 2 2 casco de lanave, cuando ¨¿ 1 l est¨¿ 1 en la posici¨¿ 2 n (x; y; z), viene dada por T (x; y; z) = e−x −2y −3z , ı 2 ı 2 ı 1 donde x, y y z vienen dados en metros. Actualmente est¨¿ 1 en el punto (1; 1; 1). ı 2 ı 2 ı 2 ı 1 ı 1 a) ¿En qu¨¿ 1 direcci¨¿ 1 n deber¨¿ 1 avanzar para disminuir m¨¿ 2 s r¨¿ 2 pidamente la temperatura? ı 2 b) Si la nave viaja a e8 m/s, ¿con qu¨¿ 1 rapidez decrecer¨¿ 2 la temperatura siavanza en esa direcı 2 ı 1 1 ci¨¿ 2 n? ı √ ı 2 c) Desafortunadamente el metal del casco se cuartear¨¿ 2 si se enfr¨¿ 1 a a una tasa mayor que 14e2 ı 1 grados por segundo. Describir el conjunto de direcciones posibles en que puede avanzar para bajar la temperatura a una tasa no mayor que ¨¿ 2 sa. ı 1 Soluci¨¿ 1 n ı 2 a) La direcci¨¿ 2 n de m¨¿ 1 ximo decrecimiento u ser¨¿ 2 la direcci¨¿ 1 nunitaria opuesta al vector ı 1 ı 2 ı 1 ı 2 gradiente.

T (x; y; z) = −2xe−x ⇒

2

−2y 2 −3z 2

; −4ye−x

2

−2y 2 −3z 2

; −6ze−x

2

−2y 2 −3z 2

⇒

N ormalizando

T (1; 1; 1) = e6 (−2; −4; −6) ⇒ − T (1; 1; 1) = e6 (2; 4; 6)

⇒

↓

u=

1 2 3 √ : √ ;√ 14 14 14

b) El valor de e8 m/s que nos dan es la rapidez (m¨¿ 1 dulo de la velocidad) de la nave. El vector ı 2velocidad vendr¨¿ 2 dado por el producto de ese m¨¿ 2 dulo por la direcci¨¿ 1 n unitaria de avance. As¨¿ 1 : ı 1 ı 1 ı 2 ı 2

2

v=

dx dy dz ; ; dt dt dt

= e8 u = e8

2 3 1 √ : √ ;√ 14 14 14

Queremos obtener la tasa de variaci¨¿ 1 n de la temperatura, y lo logramos mediante la regla de la ı 2 cadena:

dT ∂T dx ∂T dy ∂T dz = + + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt

En(x;y;z)=(1;1;1)

=

↓...