Calculo
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.
x | f(x) |
1,9 | 3,61 |
1,99 | 3,9601 |
1,999 |3,996001 |
... | ... |
↓ | ↓ |
2 | 4 |
x | f(x) |
2,1 | 4.41 |
2,01 | 4,0401 |
2,001 | 4,004001 |
... | ... |
↓ | ↓ |
2 | 4 |
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δdependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .
También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:
si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio , existe un entorno de x0 , Eδ(x0) , cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentrodel entorno de L , Eε(L).
Límites laterales
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a+δ, a ) , entonces |f (x) - L| <ε .
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a, a + δ), ,entonces |f (x) - L| <ε .
El límite de una función en un punto si existe, es único.
En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.
El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.
Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.
EjemploDada la función:
Hallar .
Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.
Limites infinitos
Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x a, si fijado un número real positivo K>0 se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.
Límite menos infinito
Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un número real negativo K< 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.
Límites en el infinito
Límite cuando x tiende a infinito
Límite cuando x tiende a menos infinito
Propiedades de los límites
Límite de una constante
Límite de una suma
Límite de un producto
Límite de un cociente
Límite de una potencia
Límite de una función
g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg,etc.
Límite de una raíz
Límite de un logaritmo
Operaciones con infinito
Sumas con infinito
Infinito más un número
Infinito más infinito
Infinito menos infinito
Productos con infinito
Infinito por un número
Infinito por infinito
Infinito por cero
Cocientes con infinito y cero
Cero partido por un número
Un número partido por cero
Un número partido por infinitoInfinito partido por un número
Cero partido por infinito
Infinito partido por cero
Cero partido por cero
Infinito partido por infinito
Potencias con infinito y cero
Un número elevado a cero
Cero elevado a cero
Infinito elevado a cero
Cero elevado a un número
Un número elevado a infinito
Cero elevado a infinito
Infinito elevado a infinito
Uno elevado ainfinito
No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:
La regla de los signos y que a-n = 1/a n
Cálculo del límite en un punto
Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:
Es decir: para calcular el límite se sustituye en la...
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