calculo

Función biyectiva
Una función “f ” es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.
Determina si la función f (x) 5 3x 1 1 es biyectiva.
Solución
Es una función siempre creciente, por tanto, es inyectiva. El contradominio de la función es (2`, `) y su rango (2`, `)
entonces es suprayectiva.
La función es inyectiva y suprayectiva, por tanto, es biyectiva.
X
Y
Determina si la función f (x) 512 x es biyectiva.
Solución
Gráfica
X
Y
f(x) = 1 − x
Si al trazar una recta paralela al eje X interseca a la curva en un punto es inyectiva; no es suprayectiva, ya que su contradominio
son los reales y su rango es el intervalo [0, `). Es inyectiva pero no suprayectiva, entonces no es biyectiva.
Determina si la función f : (2`, 1] S [0, `), tal que f (x) 5 12 x es biyectiva.
Solución
Lagráfica es la misma de la función del ejemplo anterior, por tanto, la función es inyectiva.
En este caso se especifica el contradominio como el intervalo [0, `) el cual es igual al rango, entonces, es suprayectiva.
Es inyectiva y suprayectiva, por consiguiente, es biyectiva. Ejemplos
EJEMPLOs
1
2
3
1 Capítulo
Cálculo diferencial
38
Determina si la función f : (2`, 0] S [0, `), tal que f (x)5 x2 es biyectiva.
Solución
De la gráfica se observa que la función es inyectiva, ya que la recta horizontal sólo toca un punto.
Por otro lado, el contradominio es el intervalo [0, `) el cual es igual al rango, por tanto, es suprayectiva.
Por último, es inyectiva y suprayectiva, por consiguiente, es biyectiva.
4
 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondienteEjercicio 8
Indica cuál de las siguientes funciones es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
1. f (x) 5 x 6. f (x) 5 x2 2 7x 1 10
2. f (x) 5 3 7. f (x) 5 2x 2 3
3. f (x) 5 x2 8. f (x) 5 x 2 3
4. f (x) 5 x3 9. f : R S [21, `), tal que f (x) 5 x2 2 1
5. f (x) 5 x2, x P [0, `) 10. f : [0, `) S [0, `), tal que f (x) 5 uxu
Operaciones con funciones
Sean f y g dos funciones con dominios Df y Dgrespectivamente
 f (x) 1 g(x) 5 ( f 1 g)(x), con dominio: Df y Dg
 f (x) 2 g(x) 5 ( f 2 g)(x), con dominio: Df y Dg
 f (x) ? g(x) 5 ( f ? g)(x), con dominio: Df y Dg

f x
g x
( )
( )
5
f
g

   
(x), con dominio: {x P Df y Dg u g(x) Z 0}
Capítulo 1
Relaciones y funciones
39
Sean las funciones f (x) 5 x2 2 7x 1 10, y g(x) 5 x 2 5
Determina
a) f (x) 1 g(x)
b) f (x) 2 g(x)
c) f(x) ? g(x)
d)
f x
g x
( )
( )
Solución
Se obtienen los dominios de f y g para efectuar las operaciones.
Df : (2`, `), Dg : (2`, `)
a) f (x) 1 g(x) 5 (x2 2 7x 1 10) 1 (x 2 5)
5 x2 2 6x 1 5, con Df y Dg 5 (2`, `)
b) f (x) 2 g(x) 5 (x2 2 7x 1 10) 2 (x 2 5)
5 x2 2 8x 1 15, con Df y Dg 5 (2`, `)
c) f (x) ? g(x) 5 (x2 2 7x 1 10)(x 2 5)
5 x3 2 7x2 1 10x 2 5x2 1 35x 2 50
5 x3 2 12x2 1 45x 250, con Df y Dg 5 (2`, `)
d)
f x
g x
( )
( )
5
x x
x
x x
x
2 7 10
5
5 2
5
2 1
2
5
2 2
2
( )( )
5 x 2 2 con, {x P Df y Dg u x Z 5}
Sean las funciones f (x) 5 9 2 2 x y g(x) 5 x determina: f (x) 1 g(x), f (x) 2 g(x), f (x) ? g(x) y
f x
g x
( )
( )
Solución
Se obtienen los dominios de las funciones: Df : [23, 3], Dg: (2`, `) y se realizan las operaciones.
f (x) 1 g(x) 5 92 2 x 1 x, con dominio: Df y Dg 5 [23, 3] y (2`, `) 5 [23, 3]
f (x) 2 g(x) 5 9 2 2 x 2 x, con dominio: Df y Dg 5 [23, 3] y (2`, `) 5 [23, 3]
f (x) ? g(x) 5 9 2 2 x ? x 5 x 9 2 2 x , con dominio: Df y Dg 5 [23, 3] y (2`, `) 5 [23, 3]
f x
g x
( )
( )
5
9 2 2 x
x
, con dominio: {x P [23, 3]ux Z 0} o bien x P [23, 0) y (0, 3]
Sean f 5 {(2, 3), (3, 21), (4, 25), (5, 29)} y g 5 {(1, 2), (2,5), (3, 8), (7, 10)}, determina f 1 g
Solución
Los dominios son Df 5 {2, 3, 4, 5} y Dg 5 {1, 2, 3, 7}, entonces Df 1 g 5 {2, 3}, para calcular f (x) 1 g(x) se sustituyen
los valores del dominio de la suma.
f (2) 1 g(2) 5 3 1 5 5 8
f (3) 1 g(3) 5 21 1 8 5 7
Por tanto, f (x) 1 g(x) 5 {(2, 8), (3, 7)}
Ejemplos
EJEMPLOs
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2
3
1 Capítulo
Cálculo diferencial
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Para las siguientes...