Calculo

Cap´tulo
ı

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Derivadas
El arte de nombrar y de medir con exactitud aquello
de lo que ni siquiera puede concebirse su existencia.
Voltaire

6.1. Introducción
Los orígenes del Cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemas
vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de tipo geométrico de importancia en Óptica y problemas de cálculo de valoresmáximos y mínimos de una función dada.
Simplificando, podemos destacar dos problemas principales:
 Determinar la tangente a una curva en un punto (el problema de las tangentes).
 Determinar el área encerrada por una curva (el problema de las cuadraturas).
Son los conceptos de derivada e integral, respectivamente, los que permiten resolver satisfactoriamente dichos problemas. Mientras que elconcepto de integral tiene sus raíces en la
antigüedad clásica, la otra idea fundamental del Cálculo, la derivada, no se formuló hasta el
siglo XVII. Fue el descubrimiento efectuado por Sir Isaac Newton (1642 - 1727) y Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) de la relación entre estas dos ideas, tan dispares en apariencia,
lo que inició el magnífico desarrollo del Cálculo. Si bien los trabajosde Newton y Leibniz son
decisivos por sus aportaciones e influencia, no hay que olvidar que ellos son el punto culminante de un largo proceso en el que han participado científicos de la talla de Johannes Kepler
(1571 - 1630), René Descartes (1596 - 1650), Pierre de Fermat (1601 - 1665), John Wallis
(1616 -1703) e Isaac Barrow (1630 - 1677) entre otros.

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Concepto de derivada.Interpretación física y geométrica

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6.2. Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica
Para entender los resultados del Cálculo diferencial es necesario, antes que nada, comprender la idea básica del mismo: el concepto de derivada. La derivada de una función puede
interpretarse geométricamente como la pendiente de una curva, y físicamente como una razón
“instantánea” de cambio.

6.2.1.Tangente a una curva
En la primera mitad del siglo XVII no se conocían métodos generales para calcular la
tangente a una curva en un punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia
en mecánica, en óptica y en geometría, y generalmente se resolvía, de forma geométrica, con
técnicas adaptadas a cada caso particular. La dificultad está en que, siendo la tangente una
recta, seprecisa conocer dos puntos de la misma, o bien un punto y su pendiente, para poderla
determinar.
Supongamos que queremos hallar la tangente a una curva de ecuación cartesiana y D f .x/
en el punto .a; f .a//. La estrategia, usada primero por Pierre de Fermat y más tarde por Newton, consiste en aproximar la tangente por rectas secantes cuyas pendientes sí pueden calcularse
directamente. Enparticular, consideremos la recta que une el punto .a; f .a// con un punto cercano, .x; f .x//, de la gráfica de f . Esta recta se llama una secante (recta que corta a la curva,
pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es:
f .x/
x

f .a/
a

dicho número suele llamarse cociente incremental de f en a.

.x; f .x//

f .x/

.a; f .a//
x

a

Figura 6.1. Secante

f .a/Observa que una secante es una buena
aproximación de la tangente, siempre que
el punto .x; f .x// esté próximo a .a; f .a//.
Estas consideraciones llevan a definir la tangente a la gráfica de f en el punto .a; f .a//
como la recta que pasa por dicho punto y
cuya pendiente es igual al límite:
f .x/
x!a
x
lKm
ı

f .a/
a

supuesto, claro está, que dicho límite exista.

6.2.2. Razón decambio puntual y velocidad instantánea
Muchas leyes de la Física, la Química, la Biología o la Economía, son funciones que relacionan una variable “dependiente” y con otra variable “independiente” x, lo que suele escribirse en la forma y D f .x/. Si la variable independiente cambia de un valor inicial a a otro x,

Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático

Prof. Javier Pérez...