calculo

*Integración indefinida
El campo vectorial definido asignando a cada punto (x, y) un vector que tiene por pendiente ƒ(x) = (x3/3)-(x2/2)-x. Se muestran tres de las infinitas primitivas de ƒ(x) que se pueden obtener variando la constante C.
En cálculo infinitesimal, la función primitiva o anti derivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.
Una condiciónsuficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es unaprimitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:
O

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integralesdefinidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

EJEMPLO
Una primitiva de la función  en  es la función  ya que:


Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) - 100, etc. Es más, cualquierprimitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.



* Integración directa

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o porhaberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la anti derivada. La integración directa requiere confeccionar una tabla de funciones y sus antiderivadas o funciones primitivas.

EJEMPLO
Calcular la integral indefinida.

En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de  es . Por tanto: 











*La constante C
En cálculo, la integralindefinida de una función dada (es decir, el conjunto de todas las primitivas de la función) se escribe siempre con una constante, la constante de integración.1 2 Esta constante expresa una ambigüedad inherente a la construcción de primitivas. Si una función f está definida en un intervalo y F es una primitiva de f, entonces el conjunto de todas las primitivas def viene dado por las funciones F (x)+ C, siendo C, una constante arbitraria.
La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez se ha encontrado una primitiva F, sumándole o restándole una constante C se obtiene otra primitiva, porque (F + C) ' = F ' + C ' = F'. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.
Por ejemplo, supóngase que se quiere encontrar lasprimitivas de cos(x). Una de estas primitivas es sin(x). Otra es sin(x)+1. Una tercera es sin(x)-π. Cada una de estas funciones tiene por derivada cos(x), por lo tanto todas son primitivas de cos(x). Resulta que añadir y restar constantes es el único grado de libertad que hay al encontrar primitivas diferentes de la misma función. Es decir, todas las primitivas son las mismas con la diferencia deuna constante. Para expresar este hecho para cos(x), se escribe:

Sustituyendo C por un número cualquiera, se obtiene una primitiva. En cambio, escribiendo C en vez de un número se obtiene una descripción compacta de todas las primitivas posibles de cos(x). C se denomina constante de integración. Se puede comprobar fácilmente que todas estas funciones son, en efecto, primitivas de cos(x):...