Calculo

CÁLCULO SUPERIOR
´
INTEGRAL DE LINEA. INTEGRAL
DE SUPERFICIE.
Curso del Instituto Tecnológico de Costa Rica

Walter Mora F.,
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica.
www.cidse.itcr.ac.cr

Capítulo 8

INTEGRAL DE L´
INEA. INTEGRAL DE
SUPERFICIE.

Walter Mora F.
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica.

8.1 CURVAS Y PARAMETRIZACIONES.Definición 8.1 Consideremos la función vectorial continua r : [a, b] −→ Rn con r(t) =
(x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)). La imagen generada por r se dice que es la curva determinada por
r y que une los puntos A = r(a) y B = r(b).
• Si r(a) = r(b), la curva se dice cerrada.
• Si r es inyectiva en [a, b], la curva se dice simple.
Las curvas cerradas simples se llaman curvas de Jordan.
Cálculo Superior.Walter Mora F.
Derechos Reservados c 2009 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

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INTEGRAL DE L´NEA. INTEGRAL DE SUPERFICIE.
I

curva

curva simple

curva cerrada

curva cerrada simple

Figura 8.1 Curvas

La derivada de r se define de la manera usual
r(t + h) − r(t)
= (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t))
h→0
h

r (t) = lim

Sea r(t) ladescripción de una curva C en el plano o en el espacio. El parámetro t podría
ser tiempo, ángulo, longitud de arco, coordenada x, etc. Decimos que la curva C es
→
−
regular en [a, b] si r (t) es continua en [a, b] y r (t) = 0 para todo t ∈ [a, b] (es decir las
componentes de r no se anulan simultáneamente). También decimos que una curva C es
regular a trozos en [a, b] si es regular en cadasubintervalo de alguna partición finita de [a, b].
→
−
→
−
• En R2 escribimos r(t) = (x(t), y(t)) o también r(t) = x(t) i + y(t) j , con t ∈ [a, b]
→
−
→
−
→
−
• En R3 escribimos r(t) = (x(t), y(t), z(t)) o también r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ,
con t ∈ [a, b]
• Una función vectorial es de clase C1 si las derivadas de sus componentes son continuas.

EJEMPLO 8.1

(Curvas Orientadas)Consideremos las curvas C1 y C2 (figura 8.2)

B

B
4

4

3

3

2

2

A

A
1

1

-1

1

C1

2

-1

1

2

C2

Figura 8.2 Curvas C1 y C2 .

Ambas curvas tienen ecuación, en coordenadas rectangulares, y = x2 con x ∈ [−1, 2].
Pero C1 inicia en A = (−1, 1) y termina en B = (2, 4); mientras que C2 inicia en B
y termina en A.
Para parametrizar cada curvadebemos tomar en cuenta su orientación.

CURVAS Y PARAMETRIZACIONES.

3

• Una parametrización de C1 es (tomando a x = t como parámetro),
→
−
→
−
r(t) = (x(t), y(t)) = (t,t 2 ) o también r(t) = t i + t 2 j con t ∈ [−1, 2].
Observe que r(−1) = A y r(2) = B.
• Podemos parametrizar C2 con x(t) = 2 − t y y(t) = (2 − t)2 , con t ∈ [0, 3]. Así,
r(0) = B y r(3) = A.
Esta parametrización escorrecta pues x(t) = 2 − t recorre de manera continua el
intervalo [−1, 2] si t ∈ [0, 3].
→
−
→
−
r(t) = (x(t), y(t)) = (2−t, (2−t)2 ) o también r(t) = (2−t) i + (2−t)2 j con t ∈ [0, 3].

EJEMPLO 8.2

Una elipse de ecuación

(x − h)2 (y − k)2
+
= 1 se puede parametrizar con
a2
b2

x(t) = h + a cos(t), y(t) = k + b sen(t) con t ∈ [0, 2π[.
EJEMPLO 8.3

Sea C la circunferencia dela figura 8.3. La ecuación de esta curva es
(x − 1)2 + (y − 2)2 = 16, z = 3.
Una parametrización es
→
−
→
−
→
−
r(t) = (1 + 4 cos(t)) i + (2 + 4 sen(t)) j + 3 k , t ∈ [0, 2π[

Z
3
2
1
1
1
2
3

2

3

4

X
Figura 8.3 Curva C.

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Y

INTEGRAL DE L´NEA. INTEGRAL DE SUPERFICIE.
I

4

EJEMPLO 8.4

El segmento de recta de A hasta B se puede parametrizar con
r(t) =A + t(B − A) con t ∈ [0, 1].

EJEMPLO 8.5

El segmento C1 que va de A = (1, 2, 0) hasta B = (2, 1, 2) , figura 8.4(a), se puede
parametrizar con
r(t) = A + t(B − A) = (1 + t, 2 − t, 2t) con t ∈ [0, 1].

EJEMPLO 8.6

A veces una curva C2 viene definida directamente por una parametrización. Por
ejemplo la hélice x(t) = 2 cos(t), y(t) = 2 sen(t), z(t) = t/4 con t ∈ [0, 6π]. Figura...